\documentclass[a4j,11pt]{jarticle}

\oddsidemargin=0cm
\setlength{\textheight}{26cm}
\topmargin=-2cm
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center}
ʪ������1�齬 No.9 (00/6/16)
\end{center}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item $f(z)$��$|z|<1$����§�ǡ�$f(0)=0$��$|f(z)|\leq 1$�Ǥ���Ȥ��롣
      \begin{enumerate}
      \item $g(z)=f(z)/z$�Ȥ�����$z=0$�Ͻ����ǽ���ð����Ǥ��롣
            $|z|<1$��$g(z)$����§�Ȥʤ뤿��ˤϡ��ɤΤ褦��
            $g(0)$����᤿��褤����
      \item $0<r<1$�Ȥ��ơ�$|z|\leq r$��$|g(z)|\leq 1/r$�Ǥ��뤳��
            �򼨤���(No.8 5(a)���Ѥ��衣)
      \item $|z|<1$��$|f(z)|\leq |z|$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
            ($r\rightarrow 1$�Ȥ��衣)
      \item ����1��$z_0$($0<|z_0|<1$)��$|f(z_0)|=|z_0|$������Ω�Ĥ���
            �ޤ���$|f'(0)|=1$�ΤȤ���$f(z)=e^{ic}z$($c$�ϼ����)�Ȥʤ�
            ���Ȥ򼨤���(c)��(d)�η�̤�Schwarz�������Ȥ�����
      \end{enumerate}
\item $f(z)$��$|z|<1$����§��$f(0)=0$��$|f(z)|\leq 1$�ʤ��
      $|f'(0)|\leq 1$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
\item $f(z)$����$a$���Ȥ����$a$�ζ�˵����§�Ǥ���Ȥ��롣
      ���ΤȤ�$a$���濴�Ȥ���Ŭ����Ʊ����$C_1,C_2$��ͤ���ȡ�
      �����δ֤αߴĤ�$C_1,C_2$��$f(z)$����§�ˤʤ롣
      $C_1$��Ⱦ�¤�$C_2$��Ⱦ�¤����礭���Ȥ뤳�Ȥˤ��롣(�ޤ��������ȡ�)
      \begin{enumerate}
      \item $z$��ߴ�������Ȥ��롣
            \[
              f_1(z)=\frac{1}{2\pi i}
                     \oint_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta\,\,,\qquad
              f_2(z)=\frac{1}{2\pi i}
                     \oint_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta
            \]
            ���֤��ȡ�$f(z)=f_1(z)-f_2(z)$�Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item $f_1(z)$��$z-a$�ζҵ����Ÿ�����衣(No.7������6)
      \item ����$f_2(z)$�ˤĤ��ƹͤ��롣
            \[
              \frac{1}{\zeta-z}=-\frac{1}{z-a}
                                \sum_{n=0}^{\infty}
                                \left(\frac{\zeta-a}{z-a}\right)^n
            \]
            �Ƚ񤯤��Ȥ��Ǥ����դ���«���뤳�Ȥ򼨤���
      \item $-f_2(z)=\sum_{n=1}^\infty a_{-n}(z-a)^{-n}$
            ��Ÿ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���$a_{-n}$��ɽ������衣
      \item �����η�̤�ޤȤ�ơ�
            \[
              f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n\,\,,\qquad
              a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz
            \]
            ������$C$��$C_1$�������ˤ��ä�$C_2$��ޤ�褦��Ǥ�դ��Ķ����� 
            �Ƚ񤱤뤳�Ȥ򼨤����������$a$�˴ؤ���$f(z)$��LaurentŸ��
            �Ȥ�����$z-a$����ζ�($n\leq -1$)����ʬ���ð���$a$��
            �ؤ���$f(z)$�μ������Ȥ��������������ʤ���硢$a$��
            �����ǽ���ð����Ȥ�����$f(a)=a_0$����������$f(z)$��
            $a$����§�Ȥʤ롣��������ͭ�µ���ξ�硢$a_{-n}\neq 0$
            �Ǥ���褦�ʺ����$n$��$h$�Ȥ��ơ�$a$��$f(z)$��
            $h$��(���뤤��$h$��)�ζˤȤ�������������̵�µ���ξ�硢
            $a$��$f(z)$�ο����ð����Ȥ�����
      \end{enumerate}
\item $z=a$��$f(z)$��$n$�̤������ΤȤ���$1/f(z)$��$z=a$��$n$�̤ζˤ�
      ���Ĥ��Ȥ򼨤���
\item $f(z)=z^{-1}(1-z)^{-1}$��$z=0$�˴ؤ���LaurentŸ������衣
      ����Ÿ��������Ω���ϰϤ򼨤���
      �ޤ���$z=1$�˴ؤ���LaurentŸ�����ᡢŸ��������Ω���ϰϤ򼨤���
      (�ޤ��������ȡ�)
\end{enumerate}
\vfill
\hfill {\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/appmath1.html}
\end{document}
