\documentstyle[11pt]{jarticle}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{24.2cm}
\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}


\begin{document}
\footnotesize
\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�����齬\hspace{1cm}  No.1\hspace{5mm}00/4/13}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item �̻ҷϤξ��֤� ���åȥ٥��ȥ� $|\Psi>$ �ˤ�äƵ��Ҥ���Ƥ���Ȥ���
���֤α黻�� ${\hat x}$ �θ�ͭ���� $|x>$ ���Ѥ��� $|\Psi>$ ��
\begin{displaymath}
|\Psi> = \int {\rm d}x <x|\Psi> |x>
\end{displaymath}
�Τ褦��Ÿ���������� $<x|\Psi>$ ����ư�ؿ��ȸƤ֡�����ˤĤ��ưʲ����䤤��
�����衣
\begin{description}
\item[(1)] ��ư�ؿ� $<x|\Psi>$ �� $\Psi(x)$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ��롣���ΤȤ���
�ե�å��� $j(x)$ ��
\begin{displaymath}
j(x) = \frac{\hbar}{2mi} \{ \Psi^*(x) \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \Psi(x) - 
\Psi(x) \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \Psi^*(x) \} 
\end{displaymath}
��������褦�����ΤȤ�����ư�̱黻�� ${\hat p}$ �ι������Ǥȥե�å�����
�֤� $m \int j(x) {\rm d}x = <\Psi|{\hat p}|\Psi>$ �δط������뤳�Ȥ�
������
\item[(2)] �ϥߥ�ȥ˥��� ${\hat H} = {\hat p}^2/2 m$ ��Ϳ������켡��
�μ�ͳγ�ҷϤ�ͤ��롣���ͥ륮�� $E>0$ ��Ϳ����줿�Ȥ��ˡ�
��ͭ������ ${\hat H}|E> = E |E>$ ��򤭡��̽Ť�����Ĥβ� $|E>_1$ ��
$|E>_2$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤���
\item[(3)] �ϥߥ�ȥ˥��� ${\hat H}$ �ȱ�ư�� ${\hat p}$ �ϲĴ��ʤΤǡ�
$|E>_1$ �� $|E>_2$ ��Ŭ������������Ȥ�ȡ��ϥߥ�ȥ˥���ȱ�ư�̤�
Ʊ����ͭ���֤�Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣 �����Ʊ����ͭ���֤���ư�ؿ�����
�ե�å�����׻����衣
\item[(4)] $x<0$ �ˤ����Ƥϥϥߥ�ȥ˥��� ${\hat H} = {\hat p}^2/2 m$ �ǡ� 
 $x>0$ �ˤ����Ƥ� ${\hat H} = {\hat p}^2/2 m + V$ ��Ϳ������Ȥ��褦��
$V$ ��������Ǥ��롣���ΤȤ������ͥ륮�� $0<E<V$ ���Ф���
��ͭ������ ${\hat H}|E> = E |E>$ ��ͤ�����ͭ���֤��б�������ư�ؿ���
�ե�å��� $j(x)$ �� $x>0$ �Ǥ� 0 �ˤʤ뤳�Ȥ򼨤���
\end{description}




\item 
���֤˰�¸���� Schr\"odinger������
\begin{displaymath}
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |t> = {\hat H} |t>
\end{displaymath}
��ͤ��롣${\hat H}$ �ϰ켡���ΰ�ͷ��ݥƥ󥷥��ϤΥϥߥ�ȥ˥���
\begin{displaymath}
{\hat H} = \frac{{\hat p}^2}{2 m} + U({\hat x}), \ \ 
U(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \ \ 0<x<a, \\ \infty, \ \ x < 0, \ x > a \end{array} \right.
\end{displaymath}
�Ǥ��롣
\begin{description}
\item[(1)] ��ͭ������ ${\hat H} |n> = E_n |n>$ ������Ω������ͭ���å� $|n>$ �������Ϥ�Ĥ���Ȥ��롣���ΤȤ���$|t>$ �� $|n>$ ��Ÿ������ $|t> = \sum_n c_n(t) |n>$ �Ƚ񤱤롣 Schr\"odinger �������β�
\begin{displaymath}
|t> = \sum_n {\rm exp}\left(- \frac{i}{\hbar} E_n t \right) c_n(0)|n>
\end{displaymath}
��Ϳ�����뤳�Ȥ򼨤���
\item[(2)] �ºݤ� (1) �θ�ͭ��������򤤤� $E_n$ ����衣���ͥ륮���κǤ�
�㤤���� $|1>$ �ȣ����ܤ��㤤���� $|2>$ �ˤĤ��ơ��б�������ư�ؿ���
��������� $|<x|1>|^2$ ����� $|<x|2>|^2$ �� $x$ �δؿ��Ȥ��ƿ޼����衣
\item[(3)] ���� $t = 0$ �ˤ����ƷϤ����㥨�ͥ륮������ $|1>$ �����äƤ���
�Ȥ��褦(�Ĥޤꡢ$c_n(0) = \delta_{n1}$�ˡ����ΤȤ���
$|<x|t>|^2$ �� $x = a/4$ �ˤ���������Ѳ���޼����衣
\item[(4)] ���� $t = 0$ �ˤ����ƷϤ����㥨�ͥ륮������ $|1>$ �ȣ����ܤ˥��ͥ륮�����㤤���� $|2>$ �������������äƤ��ơ�$c_1(0) = c_2(0)= C$ �Ǥ���Ȥ��褦������ $t=0$ �ˤ�������ư�ؿ��ε��ʲ�����ꡢ��� $C$ ���ͤ�׻����衣
\item[(5)] ������֤� (4) �ǽҤ٤��褦�ˤʤäƤ���Ȥ���$|<x|t>|^2$ �� $x = a/4$ �ˤ���������Ѳ���޼����衣
\end{description}



\item 
1������Ĵ�¿�ư�Ҥ� Schr\"odinger������
\begin{displaymath}
\left( \frac{{\hat p}^2}{2 m} + \frac{m \omega^2}{2} {\hat x}^2 
\right) |n> = E_n |n>
\end{displaymath}
��ͤ��롣�ʲ����䤤�������衣
\begin{description}
\item[(1)] ��ư�ؿ� $<x|n>$ ���Ф�����ʬ��������񤭲����������
�ѿ��Ѵ� $\xi = x \sqrt{m \omega/\hbar}$ ��Ԥ��� 
\item[(2)] $\Psi = v(\xi) {\rm e}^{- \xi^2/2}$ ���֤�������$v(\xi)$ ��
��������ʬ��������Ƴ����
\item[(3)] $v(\xi) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k \xi^k$ �Ȥ�����(2) �ǵ�᤿
��ʬ���������������衣���η�̤��顢���� $c_k$ �δ֤���Ω������������
���衣
\item[(4)] $v(\xi)$ ��¿�༰�ˤʤ�褦�� ���ͥ륮�� $E_n$ ���ͤ����衣
\item[(5)] ���ͥ륮���κǤ��㤤���֤������ܤ��㤤���֤ˤĤ��ơ�
�б�������ư�ؿ������������� $x$ �δؿ��Ȥ��ƿ޼����衣
\end{description}
\end{enumerate}

\vfill
\begin{flushright}
{\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html}
\end{flushright}

\end{document}


