\documentstyle[11pt]{jarticle}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{24.2cm}
\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}


\newcommand{\bvec}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\dbra}[1]{\langle\langle #1}
\newcommand{\dket}[1]{|#1\rangle\rangle}


\begin{document}
\small
\pagestyle{empty}


\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�����齬\hspace{1cm}  No.11\hspace{5mm}00/6/29}
\end{center}
\begin{enumerate}


\item 
�ѱ�ư�̱黻�� ${\vec J}$ �򡢸򴹴ط� 
\begin{displaymath}
[J_a,J_b] =  i \hbar \sum_{c=1}^3 \epsilon_{abc} J_c
\end{displaymath}
����������ΤȤ���������롣
\begin{description}
\item[(1)] $J^2 = J_1^2 + J_2^2 + J_3^2$ �� $J_3$ ���򴹤��뤳�Ȥ򼨤��� 
����ˤ�ꡢ$J^2$ �� $J_3$ �ˤ�Ʊ����ͭ���å� $| \alpha,\beta>$ ��¸�ߤ���
\begin{eqnarray}
J^2 | \alpha, \beta> & = & \alpha | \alpha,\beta>, \nonumber \\
J_3 | \alpha, \beta> & = & \beta | \alpha,\beta> \nonumber 
\end{eqnarray}
����������
\item[(2)] $J_+ = J_1 + i J_2$, $J_- = J_1 - i J_2$ ���Ф����򴹴ط�
$[J_3,J_+]$, $[J_3,J_-]$, $[J_+,J_-]$ ��׻����衣
\item[(3)] (2) �η�̤�Ȥäơ�$J_+ |\alpha,\beta>$, $J_- |\alpha, \beta>$ 
�� $J_3$ �θ�ͭ���åȤǤ��뤳�Ȥ򼨤�����ͭ�ͤ���衣
\item[(4)] $|\alpha, \beta>$ ���黻�� $J_- J_+$ �θ�ͭ���åȤǤ⤢�뤳��
�򼨤������θ�ͭ�ͤ���衣����ˡ����θ�ͭ�ͤ�����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
\item[(5)] $\alpha$ ���ͤ����ꤵ��Ƥ���Ȥ��褦�����ΤȤ���$\beta$ ��
�ͤ����¤���Ƥ��ꡢ������ $\beta^{\prime}$ ��
�Ǿ��� $\beta^{\prime \prime}$ �����뤳�Ȥ򼨤���
\item[(6)] (3) ����� (5) �η�̤��顢
\begin{displaymath}
J_+ | \alpha, \beta^{\prime}> = 0, \ \ J_- |\alpha, \beta^{\prime \prime}> = 0 
\end{displaymath}
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
\end{description}



\item ���꣱��³���ǰʲ����䤤�������衣 
\begin{description}
\item[(1)] $J^2 = J_3(J_3 + \hbar) + J_- J_+$ �򼨤������η�̤�Ȥäơ�
$\alpha$ �� $\beta^{\prime}$ �δ֤δط�����衣
\item[(2)] (1) ��Ʊ�ͤˤ��ơ�$\alpha$ �� $\beta^{\prime \prime}$ 
�δ֤δط�����衣
\item[(3)] (1) �� (2) �η�̤��顢
$\beta^{\prime} + \beta^{\prime \prime} = 0$ �򼨤��� 
\item[(4)] $|\alpha ,\beta^{\prime \prime}>$ �� $J_+$ �򲿲�⤫���Ƥ椯����
�ˤ�ꡢ$(\beta^{\prime} - \beta^{\prime \prime})/\hbar$ ��ɬ�������ˤʤ뤳�Ȥ�
������
\item[(5)] $<\alpha,\beta|J_- J_+|\alpha,\beta>$ ���ͤ�׻����衣���η�̤��顢
$J_+$ �� $|\alpha, \beta>$ ���Ф�����Ѥ����Ū�˽񤭲�����
\item[(6)] $<\alpha,\beta|J_+ J_-|\alpha,\beta>$ ���ͤ�׻����衣���η�̤��顢
$J_-$ �� $|\alpha, \beta>$ ���Ф�����Ѥ����Ū�˽񤭲�����
\end{description}



\item ��Ĥ���Ω�ʷϤ򤢤碌�뤳�Ȥ�ͤ��롣���줾��γѱ�ư��
      �黻�Ҥ� $\hat{\bvec{J}}_1$��$\hat{\bvec{J}}_2$�ǡ��ߤ���
      �򴹤������줾�켰 $ 
      [\hat J^a,\hat J^b]=i\hbar\sum_{c=1}^{3}\epsilon^{abc}\hat J^c
      $ �������������碌����
      ���Τγѱ�ư�̱黻�Ҥ�
      $\hat{\bvec{J}}=\hat{\bvec{J}}_1+\hat{\bvec{J}}_2$
      �Ƚ񤱤롣���줾��ηϤξ��֤�$\ket{j_1,m_1}$��
      $\ket{j_2,m_2}$�Ȥ���ȡ����碌���Ϥξ��֤�
      $\ket{j_1,m_1}\ket{j_2,m_2}$�Ƚ񤱤롣
      ���ξ��֤��Ф��ơ�$\hat{\bvec{J}}$��
      $\hat{\bvec{J}}\ket{j_1,m_1}\ket{j_2,m_2}
       =\hat{\bvec{J}}_1\ket{j_1,m_1}\ket{j_2,m_2}+
        \ket{j_1,m_1}\hat{\bvec{J}}_2\ket{j_2,m_2}$
      �Ⱥ��Ѥ��롣
      \begin{enumerate}
      \item $j_1$��$j_2$�����ꤵ��Ƥ���Ȥ������֤�
            ���ϲ��Ĥ���
            \label{C}
      \item $\hat J^3/\hbar$�θ�ͭ��$m$�ΤȤ������ͤ�
            $j_1+j_2$����$-(j_1+j_2)$�������Ǥ��뤳�Ȥ�
            ���������줾���$m$���ͤ�°������֤ο�(¿����)��
            Ĵ�٤衣
      \item $m$�κ����ͤ��б��������$\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2}$
            ��$\hat{\bvec{J}}^2$�θ�ͭ���֤Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
            ���θ�ͭ�ͤ�$\hbar^2(j_1+j_2)(j_1+j_2+1)$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
            (�ҥ�ȡ�$\hat J^+\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2}$��
             ɾ������$\hat{\bvec{J}}^2=
                      \hat J^3(\hat J^3+\hbar)+\hat J^-\hat J^+$
             ���Ѥ��衣)
            \label{HW}
      \item ����η�̤�ꡢ$\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2}$��
            $\hat J^-$��缡���Ѥ����ơ�$\hat{\bvec{J}}^2/\hbar^2$
            ��$(j_1+j_2)(j_1+j_2+1)$��$\hat J^3/\hbar$��
            $j_1+j_2,\cdots,-(j_1+j_2)$�ξ��֤����뤳�Ȥ��Ǥ��롣
            �����ξ��֤�������Ĥ�ξ���(���ʤ���������ξ��֤�
            ľ�򤹤뤹�٤Ƥ���Ω�ʾ���)�ˤĤ��ơ�
            $m$�ΤȤ������ͤ�
            ���줾���$m$���ͤ�°������֤ο�(¿����)��Ĵ�٤衣
      \item \ref{HW}�ʲ��ε����򷫤��֤��ơ�$\hat{\bvec{J}}^2$��
            ��ͭ�ͤ�$\hbar^2 j(j+1)$�Ƚ񤤤��Ȥ���$j$�ΤȤ�����
            �ͤȤ���¿���٤�Ĵ�٤衣(�㤨�С�
            $j=j_1+j_2$����ǽ�Ǥ���¿���٤�1�Ǥ��롣)
            �ޤ���$j$��$m$�ǻ��ꤵ�����֤ο������¤�\ref{C}��
            ��᤿���֤ο������������Ȥ򼨤���
      \item ��ɡ����碌���Ϥξ��֤�$\hat{\bvec{J}}^2$��
            $\hat J^3$�θ�ͭ�ͤǰ��Ū��ɽ����뤳�Ȥ�
            ʬ���ä��Τǡ�������$\dket{j,m}$�Ƚ񤯤���
            �ˤ��롣$\ket{j_1,m_1}\ket{j_2,m_2}$��
            $\dket{j,m}$��Ÿ�������Ȥ��η���
            (Clebsch-Goldan����)��
            $C^{j,m}_{m1,m2}=\dbra{j,m}\ket{j_1,m_1}\ket{j_2,m_2}$
            �Ƚ񤯡�$j_1=j_2=1/2$�ΤȤ�����γѱ�ư�̤ι�����
            �ºݤ˹Ԥäơ����٤ƤΥ����Ǥʤ�Clebsch-Goldan������
            ���衣
      \end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
