\documentstyle[a4j,11pt]{jarticle}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{24.2cm}
\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}

\newcommand{\bvec}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\dbra}[1]{\langle\langle #1}
\newcommand{\dket}[1]{|#1\rangle\rangle}

\begin{document}
\small
\pagestyle{empty}


\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�2�齬\hspace{1cm}  No.12\hspace{5mm}00/7/6}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item No.11������2(1)��(4)��ꡢ$\beta^{\prime}=J$�Ƚ񤯤ȡ�
      $2J/\hbar$��ɬ�������ˤʤ뤳�Ȥ��狼�롣
      ��ñ��$J/\hbar = 1/2,1$�ξ���ͤ��Ƥߤ褦���� 
      \begin{enumerate}
      \item $J/\hbar = 1/2$�ξ��ˡ�$\alpha$���ͤ����
            ��������$\langle\alpha,\beta_j,|J_a|\alpha,\beta_l\rangle$ 
            ��׻�����$J_1,J_2,J_3$�ι���ɽ������衣��̤�Pauli����
            \[
              \sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 
                                                  1 & 0 \end{array} \right),
                         \quad
              \sigma_2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ 
                                                  i & 0 \end{array} \right),
                         \quad
              \sigma_3 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 
                                                  0 & -1 \end{array} \right)
            \]
            ��Ȥäƽ񤯤��ȡ�
      \item $J/\hbar = 1$�ξ��ˡ�$\alpha$���ͤ���ӹ������� 
            $\langle\alpha,\beta_j,|J_a|\alpha,\beta_l\rangle$ 
            ��׻�����$J_1,J_2,J_3$�ι���ɽ������衣
      \end{enumerate}
\item ����ޤǤ˸��Ƥ����褦�ˡ��ѱ�ư�̱黻�Ҥ�򴹴ط�
      \begin{equation}
        [\hat J^a,\hat J^b]=i\hbar\sum_{c=1}^{3}\epsilon^{abc}\hat J^c
      \label{JJJ}
      \end{equation}
      ����������ΤȤ����������ȡ��ѱ�ư�̤��礭��$J$ 
      ($\bvec{J}^2$�θ�ͭ�ͤ�$J(J+\hbar)$)�ϡ�
      $J=\hbar n/2$ (��������$n$�ϥ����ޤ�����������)
      �Ȥʤ롣���ʤ�����ѱ�ư�̤��礭����($\hbar$��ñ�̤Ȥ���)
      ������Ⱦ�������ͤ�Ȥ����롣
      \begin{enumerate}
      \item �ѱ�ư�̤��礭����$J=\hbar j$�ǡ�$\hat J^3$��
            ��ͭ�ͤ�$\hbar m$�Ǥ���褦�ʾ��֤�
            $\ket{j,m}$�Ƚ񤯤��Ȥˤ��롣z���Τޤ���
            ����ž�����$\ket{j,m}$�ϤɤΤ褦���Ѵ����뤫��
            $j$�������ξ���Ⱦ�����ξ���ʬ���������衣\\
            (�ҥ�ȡ�ͭ�²�ž�α黻�Ҥ�
            $\exp{(\frac{1}{i\hbar}\bvec{\theta}\cdot\hat{\bvec{J}})}$��)
      \item ����$\ket{\psi}$�ΰ��֤θ�ͭ���å�$\ket{\bvec{r}}$�ˤ��Ÿ����
            ���Ū�Ǥ���Ȥ���ȡ���ư�ؿ�$\psi(\bvec{r})$��
            ����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
      \item �����ޤǤη�̤ϡ��̻��ϳ�Ū�ʷϤˤϺ�ɸ�ʳ��ˤⲿ��
            �Ϥ���ħ�դ����ѿ����������뤳�Ȥ򼨺����Ƥ��롣���ʤ����
            �ѱ�ư�̤α黻��$\hat{\bvec{J}}$�ϵ�ƻ�ѱ�ư��
            $\hat{\bvec{L}}=\hat{\bvec{r}}\times\hat{\bvec{p}}$
            �����Ǥϰ���Ū�˵��ҤǤ��ʤ��������ǡ����ԥ�ѱ�ư�̤�
            �ƤФ���Τ�Ƴ���������α黻�Ҥ�
            $\hat{\bvec{S}}$�Ƚ񤳤�������Ϥ���γ�Ҥθ�ͭ��
            �ѱ�ư�̤��б����롣$\hat{\bvec{S}}$�Ϻ�ɸ�����
            ��ư�̤α黻�ҤȲĴ��ǡ��򴹴ط�
            $[\hat S^a,\hat S^b]=i\hbar\sum_{c=1}^{3}\epsilon^{abc}\hat S^c$
            �������������ѱ�ư�̤�
            $\hat{\bvec{J}}=\hat{\bvec{L}}+\hat{\bvec{S}}$��
            ����ȡ�$\hat{\bvec{J}}$�ϼ�(\ref{JJJ})�����������Ȥ�
            ������
      \end{enumerate} 
\item $2j+1$�Ĥξ��֥٥��ȥ�$\ket{j,m}$ ($m=j,\cdots,-j$)��
      $\hat{\bvec{J}}$�κ��Ѥ��Ф��ơ�
      \begin{eqnarray}
        \hat J^3\ket{j,m}&=&\hbar m\ket{j,m}\nonumber\\
        \hat J^+\ket{j,m}&=&\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}\;\ket{j,m+1}
        \label{TRST}\\
        \hat J^-\ket{j,m}&=&\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}\;\ket{j,m-1}\nonumber
      \end{eqnarray}
      ���Ѵ�����Ȥ��������ξ��֤ϳѱ�ư��$j$��ɽ����
      �ʤ��Ƥ���Ȥ�����Ʊ�ͤˡ�$2j+1$�黻��$\hat O_{j,m}$
      ($m=j,\cdots,-j$)�����򴹴ط�
      \begin{eqnarray*}
        [\hat{J}^3,\hat{O}_{j,m}]&=&\hbar m\hat{O}_{j,m}\cr
        [\hat{J}^+,\hat{O}_{j,m}]&=&
                   \hbar\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}\;\hat{O}_{j,m+1}\cr
        [\hat{J}^-,\hat{O}_{j,m}]&=&
                   \hbar\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}\;\hat{O}_{j,m-1}
      \end{eqnarray*}
      ���������Ȥ��������α黻�Ҥϳѱ�ư��$j$����
      �ƥ󥽥�黻�ҤǤ���Ȥ�����
      \begin{enumerate}
      \item ���Ȥߤξ��֥٥��ȥ�$\ket{\psi;j,m}$($m=j,\cdots,-j$)��
            $\ket{\varphi;j',m'}$($m'=j',\cdots,-j'$)�����줾��
            �ѱ�ư��$j$��$j'$��ɽ����ʤ��Ƥ���Ȥ��롣
            $\bra{\varphi;j',m'}\ket{\psi;j,m}=
             A_m\delta_{j',j}\delta{m',m}$�򼨤���
      \item ��(\ref{TRST})���Ѥ��ơ�$A_m$��$m$�˰ͤ�ʤ�
            ���Ȥ򼨤���
      \item $\hat O_{j_1,m_1}$($m_1=j_1,\cdots,-j_1$)��
            �ѱ�ư��$j_1$���ĥƥ󥽥�黻�Ҥǡ�
            $\ket{\psi;j_2,m_2}$($m_2=j_2,\cdots,-j_2$)��
            �ѱ�ư��$j_2$��ɽ����ʤ��Ƥ���Ȥ���
            $\hat O_{j_1,m_1}\ket{\psi;j_2,m_2}$��
            $\hat{\bvec{J}}$�κ��Ѥ��Ф��ơ�
            $\ket{j_1,m_1}\ket{j_2,m_2}$�Τ褦���Ѵ�����
            ���Ȥ򼨤���
      \item $\ket{\varphi;j,m}$($m=j,\cdots,-j$)��
            �ѱ�ư��$j$��ɽ����ʤ��Ƥ���Ȥ���
            $\bra{\varphi;j,m}|\hat O_{j_1,m_1}
             \ket{\psi;,j_2,m_2}=A C^{j,m}_{m_1,m_2}$
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤�����������$A$��$m$��
            $m_1$��$m_2$�ˤϰͤ�ʤ����Ǥ��롣�����
            Wigner-Eckart�������ȸƤ֡�
            (�ҥ�ȡ�$\ket{j_1,m_1}\ket{j_2,m_2}=
             \sum_{j,m}C^{j,m}_{m_1,m_2}\dket{j,m}$��
             $\hat O_{j_1,m_1}\ket{j_2,m_2}=
             \sum_{j,m}C^{j,m}_{m_1,m_2}\ket{\xi;j,m}$
             �Ȥ�ߤ����뤳�Ȥ��Ǥ��롣)
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{flushright}
\tt
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html
\end{flushright}
\end{document}
