\documentstyle[11pt]{jarticle}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{24.2cm}
\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}


\begin{document}
\small
\pagestyle{empty}


\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�����齬\hspace{1cm}  No.3\hspace{5mm} 00/4/27}
\end{center}
\begin{enumerate}


\item ��ư�ؿ� $\Psi_1(q)$ �� $\Psi_2(q)$ ����ɸ $q$ �δؿ��Ǥ���Ȥ��褦��
�黻�� ${\hat A}$ ���Ф��ơ��黻�� ${\hat A}^{\dagger}$ ��¸�ߤ���Ǥ�դ�
$\Psi_1(q)$��$\Psi_2(q)$ ���Ф���
\begin{displaymath}
\int ({\hat A} \Psi_2(q))^* \Psi_1(q) {\rm d}q = \int \Psi_2^*(q) 
{\hat A}^{\dagger} \Psi_1(q) {\rm d}q
\end{displaymath}
���������Ȥ���${\hat A}^{\dagger}$ �� ${\hat A}$ ���Ф��륨��ߡ��ȶ����
�黻�ҤȸƤ֡�
\begin{description}
\item[(1)] �֥饱�åȵ��� $| \Psi_1 >$��$| \Psi_2 >$ ��Ƴ������
\begin{displaymath}
<\Psi_1 | \Psi_2> = \int \Psi_1^*(q) \Psi_2(q) {\rm d}q, \ \ 
<\Psi_1 |{\hat A}| \Psi_2> = \int \Psi_1^*(q) {\hat A} \Psi_2(q) {\rm d}q
\end{displaymath}
�Τ褦�˵�ˡ������򤹤롣���ΤȤ���$<\Psi_1 | {\hat A}^{\dagger} |\Psi_2> = <\Psi_2 | {\hat A} |\Psi_1>^*$ ��������衣

\item[(2)] ���� $|\Psi>$ �˺��Ѥ���ȡ����� $<\Psi_2|\Psi> |\Psi_1>$ ��Ϳ����黻�Ҥ�$|\Psi_1><\Psi_2|$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ��롣��ư�ؿ� $\Psi_n(q)$ ($ = |n>$��
$n$ �������ˤ�����ľ��ʤ��ʤ�� $<m|n> = \delta_{mn}$) �Ǥ��äơ������⡢Ǥ�դξ��� $|\Psi>$ �� $|\Psi> = \sum_n c_n |n>$ �Τ褦��Ÿ���Ǥ���Ȥ��褦�����ΤȤ���$\sum_n |n><n| = 1$ �򼨤����ʥҥ��: $\sum_n |n><n|$ ��Ǥ�դξ��֤˺��Ѥ������Ȥ������֤��Ѥ��ʤ����Ȥ򼨤��Ф褤����

\item[(3)] ��ư�ؿ� $\Psi_{\nu}(q)$��$ = |\nu>$��$\nu$ �ϼ¿��ˤ�����ľ��ʤ��ʤ�� $<\mu|\nu> = \delta(\mu - \nu)$) �Ǥ��äơ������⡢Ǥ�դξ��� $|\Psi>$ �� $|\Psi> = \int {\rm d}\nu c_\nu |\nu>$ �Τ褦��Ÿ���Ǥ���Ȥ��褦�����ΤȤ���$\int {\rm d}\nu |\nu><\nu| = 1$ �򼨤���

\item[(4)] (3) �ǽҤ٤��������� $|n>$�ʤޤ��� (4) �ǽҤ٤��������� $|\nu>$)  ��¸�ߤ����Ȥ��褦�����Τ褦���������� $|n>$(�ޤ��� $|\nu>$)�ν���ϴ����Ǥ���Ȥ��������ΤȤ���(1) �η�̤�Ȥäơ�$<\Psi| {\hat A}^{\dagger} {\hat A} |\Psi> \geq 0$ �򼨤���
\end{description}

\item ����ľ�����ư�ؿ� $|\nu>$ �δ����ʽ��礬����Ȥ��롣����ˤĤ��ơ��ʲ����䤤�������衣
\begin{description}
\item[(1)] ���̤ξ��֤�ɽ�� $|\Psi>$�����̤α黻�� ${\hat A}$ ���Ф�
\begin{displaymath}
|\Psi> = \int {\rm d}\nu <\nu|\Psi> |\nu>, \ \ \ {\hat A} = \int \int {\rm d}\nu {\rm d}\mu <\mu|{\hat A}|\nu> |\mu><\nu|
\end{displaymath}
�򼨤���
\item[(2)]
�켡���ΰ��ֱ黻�Ҥ� ${\hat x}$ �Ȥ������θ�ͭ���֤� $|x>$ �Ȥ��롣�Ĥޤꡢ
${\hat x} |x> = x |x>$ �Ǥ��롣��ͭ���� $|x>$ �ν���ϡ�����ľ�����ư�ؿ���
�����ʽ���Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ������֤α黻�� ${\hat x}$ �ι������� 
$<x^{\prime \prime}|{\hat x}|x^{\prime}>$ ����衣
\item[(3)] 
���֤ȱ�ư�̤δ֤θ򴹴ط� $[{\hat x},{\hat p}] = i \hbar$ ��ξ�դι���
ɽ����׻����衣���η�̤��顢��ư�̱黻�� ${\hat p}$ �ι������� 
$<x^{\prime \prime}|{\hat p}|x^{\prime}>$ ����衣�ʥҥ��: �ǥ륿�ؿ�
���������ط��� $x \delta^{\prime}(x) = - \delta(x)$ ��Ȥ�����
\item[(4)]
��ư�̱黻�Ҥθ�ͭ���֤� $|p>$ �Ƚ񤯡����ʤ����${\hat p} |p> = p |p>$ �Ǥ��롣
(3) �η�̤�Ȥäơ�$<x^{\prime}|p>$ ���ͭ�� $p$ �δؿ��Ȥ��Ƶ��衣
\end{description}


\item 
���֤˰�¸���� Schr\"odinger������
\begin{displaymath}
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |t> = {\hat H} |t>
\end{displaymath}
��ͤ��롣�ʲ����䤤�������衣
\begin{description}
\item[(1)] �ϥߥ�ȥ˥��� ${\hat H}$ �����֤˰�¸���ʤ��Ȥ��롣
Schr\"odinger �������β�
\begin{displaymath}
|t> = {\rm exp}\left(- \frac{i}{\hbar} {\hat H} t \right) |0>
\end{displaymath}
��Ϳ�����뤳�Ȥ򼨤���
\item[(2)] �ϥߥ�ȥ˥��󤬻��֤˰�¸���뤬���ۤʤ����
�Υϥߥ�ȥ˥��󤬸ߤ��˸򴹤���Ȥ��롣
�ʤĤޤꡢ$[{\hat H}(t),{\hat H}(t^{\prime})] = 0$�ˤ��ΤȤ��� 
Schr\"odinger �������β�
\begin{displaymath}
|t> = {\rm exp}\left(- \frac{i}{\hbar} 
\int_0^t {\hat H}(t^{\prime}) {\rm d}t^{\prime} \right) |0>
\end{displaymath}
��Ϳ�����뤳�Ȥ򼨤���
\item[(3)] �ۤʤ����Υϥߥ�ȥ˥�����Ĵ��ʤȤ��ˤϡ�(2) ��
��������þ���뤳�Ȥ��������衣
\item[(4)] �켡���μ�ͳγ�Ҥ�ͤ��褦��������ϡ�$|0> = |x>$ �Ȥ��롣��
���ʤ�������� $t = 0$ �Ǥϰ��֤θ�ͭ���֤ˤ��롣�ϥߥ�ȥ˥���ϡ�
${\hat H} = {\hat p}^2/2m$ ��Ϳ�����롣���ΤȤ���$<x^{\prime}|t>$ ��
�׻����衣
\end{description}

\end{enumerate}
\end{document}

