\documentstyle[a4j,11pt]{jarticle}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{26cm}
%\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}


\begin{document}
\small
\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�2�齬\hspace{1cm}  No.4\hspace{5mm}00/5/11}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item \begin{enumerate}
      \item ���μ�������򴹴ط����Ѥ��Ƽ�������������
            $G(\hat p)$��$F(\hat q)$�Ϥ٤������
            �������Ƥ����ΤȤ��롣
            \[
              [\hat q_i,G(\hat p)]=
               i\hbar\frac{\partial G}{\partial \hat p_i}\;,\qquad
              [\hat p_i,F(\hat q)]=
               -i\hbar\frac{\partial F}{\partial \hat q_i}
            \]
            (��:������$G(\hat p)$��$F(\hat q)$���٤����Ÿ��
            �Ǥ��ʤ�������������)
      \item �������μ�ͳγ�ҤˤĤ��ơ��黻��$\hat q(t)$����� 
             $\hat p(t)$��Heisenberg��������򤱡�
      \item $[\hat q(t),\hat q(0)]$����衣
      \item $\hat q(t)$��$\hat q(0)$�Ȥ��Գ������ط�����衣
      \end{enumerate}

\item ������Ĵ�¿�ư�Ҥ�ͤ��롣�ϥߥ�ȥ˥����
      \[
        \hat H=\frac{{\hat p}^2}{2m}+\frac{m}{2} \omega^2 {\hat q}^2
      \]
      ��Ϳ����졢$[\hat q,\hat p]=i\hbar$�Ǥ��롣
      \begin{enumerate}
      \item ���Ǳ黻��$\hat a$�������黻��${\hat a}^\dagger$�򼡤Τ褦�����
            ���롣
            \[
              \hat a=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}
                     \left(\sqrt{m\omega}\,\hat q+
                           i\frac{1}{\sqrt{m\omega}}\,\hat p
                     \right),\quad
              {\hat a}^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}
                               \left(\sqrt{m\omega}\,\hat q-
                                     i\frac{1}{\sqrt{m\omega}}\,\hat p
                               \right)
            \]
            ����˿��黻�Ҥ�$\hat n={\hat a}^\dagger \hat a$��������롣
            ���ΤȤ����򴹻�$[\hat a,{\hat a}^\dagger]$��
            $[\hat n,\hat a]$��$[\hat n,{\hat a}^\dagger]$��
            ���衣
      \item $\hat H$��$\hat n$��ɽ����
      \item $\hat n$�θ�ͭ�ͤ����ޤ��ϣ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���\label{PSD}
      \item $\hat n|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$�ΤȤ���
            $\hat n(\hat a|\alpha\rangle)=(\alpha-1)(\hat a|\alpha\rangle)$��
            $\hat n({\hat a}^\dagger|\alpha\rangle)=
             (\alpha+1)({\hat a}^\dagger|\alpha\rangle)$�򼨤���\label{CA}
      \item $\hat n$�κǾ���ͭ�ͤ��б������ͭ�٥��ȥ��$|0\rangle$��
            �񤯤ȡ�\ref{PSD}��\ref{CA}��ꡢ$\hat a|0\rangle=0$�Ǥ��롣�ޤ���
            $\hat n|0\rangle=\hat a^\dagger \hat a|0\rangle=0$��
            ���뤳�Ȥ��顢$|0\rangle$��
            $\hat n$�θ�ͭ�ͣ��θ�ͭ�٥��ȥ�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣
            �����Ǽ��Τ褦�ʾ��֤�ͤ��롣
            \[
              |n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}({\hat a}^\dagger)^n|0\rangle
              \qquad n=0,1,2,\cdots 
            \]
            $\hat n|n\rangle=n|n\rangle$��
            $\hat a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$�� 
            ${\hat a}^\dagger |n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$��
            $\langle n|m\rangle=\delta_{n,m}$�򼨤�����������
            $\langle 0|0\rangle=1$�Ȥ��롣
      \item Ĵ�¿�ư�ҤΥ��ͥ륮����ͭ�ͤ���衣
      \item �������$|0\rangle$�κ�ɸɽ��$\langle q|0\rangle$����衣
      \item Ĵ�¿�ư�ҤΥ��ͥ륮����ͭ����$|n\rangle$�ˤĤ���
            ���֤ȱ�ư�̤��Գ�������ɾ�����衣(�ҥ�ȡ�
            ���֤ȱ�ư�̤α黻�Ҥ����������Ǳ黻�Ҥ�ɽ����)
      \item Heisenberg�����Ǥ����������Ǳ黻�Ҥλ���ȯŸ��
            ���衣
      \item ����$t$�Ǥκ�ɸ�ȱ�ư�̤ξ���$|n\rangle$�ˤĤ��Ƥ�
            �����͡����ʤ��
            $\langle n|\hat q(t)|n\rangle$�����
            $\langle n|\hat p(t)|n\rangle$����衣
      \end{enumerate}
\item ����κǸ�˸����褦�ˡ����ͥ륮����ͭ����$|n\rangle$��
      �桹��ľ��Ū�˹ͤ���(��ŵŪ��)Ĵ�¿�ư�ҤȤϰۤʤ�
      �դ�ޤ��򤹤롣�����ǡ����ҡ����Ⱦ��֤ȸƤФ��
      ���Ǳ黻�Ҥθ�ͭ���֤�ͤ��롣���ʤ����
      $\hat a|\lambda\rangle=\lambda|\lambda\rangle,\,
      (\lambda ��ʣ�ǿ�)$�Ȥ��롣��������
      $\langle\lambda|\lambda\rangle=1$�Ȥ��롣
      \begin{enumerate}
      \item $\langle \lambda|\hat q(t)|\lambda\rangle$�����
            $\langle \lambda|\hat p(t)|\lambda\rangle$����衣
      \item $|\lambda\rangle=\sum_{n=0}^\infty c_n |n\rangle$�Ȥ�����
            $c_n$��$c_0$��ɽ����
      \item $\langle\lambda|\lambda\rangle=1$���Ѥ���$c_0$��
            ���ꤷ��
            $|\lambda\rangle=\exp{(-|\lambda|^2/2)}
             \exp{(\lambda{\hat a}^\dagger)}|0\rangle$�Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item $|\lambda\rangle$�κ�ɸɽ������衣
      \item ���μ��򼨤���
            \[
              \frac{1}{\pi}\int d^2\lambda|\lambda\rangle\langle\lambda|
              =1
            \]
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\begin{flushright}
\tt
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html
\end{flushright}
\end{document}

