\documentstyle[11pt]{jarticle} 
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\pagestyle{empty}

\begin{document} %\footnotesize \pagestyle{empty} 


\begin{center} 
{\large\gt 量子力学第二演習\hspace{1cm} No.5\hspace{5mm}00/5/18} 
\end{center} 


\begin{enumerate} 
\item 1次元の Schr\"odinger方程式
      \begin{equation} {\hat H} |E>= E |E>, 
      \ \ \ {\hat H} = \frac{{\hat p}^2}{2 m} + V({\hat x})
      \end{equation} を考える。$E>0$ であるとし、ポテンシャルエネルギーは
      \begin{displaymath} V(x) = 
      \left\{ \begin{array}{l} -V, \ \ -a<x<a, V>0, \\ 
                               0, \ \ x < -a, \ x > a 
              \end{array} \right.
      \end{displaymath} 
      で与えられるとする。以下の問いに答えよ。
      \begin{description} 
      \item[(a)] パリティ演算子 ${\hat P}$ を 座標を反転する
                 ($x \rightarrow -x$) 演算子と定義する。${\hat P}$
                 の固有値は $1$ か $-1$ になることを示せ。
      \item[(b)] 上のハミルトニアン ${\hat H}$ はパリティ演算子 
                 ${\hat P}$と交換するので、${\hat H}$ と ${\hat P}$ 
                 の同時固有状態をつくることができる。パリティ演算子の固有値 
                 $1$ に対応する同時固有状態を、パリティ偶の
                 エネルギー固有状態という。Schr\"odinger 方程式 (1) を解いて、
                 パリティ偶のエネルギー固有状態を求めよ。
      \item[(c)] パリティ演算子の固有値 $-1$ に対応する同時固有状態を、
                 パリティ奇のエネルギー固有状態という。Schr\"odinger 
                 方程式 (1) を解いて、パリティ奇の
                 エネルギー固有状態を求めよ。
      \end{description} 

\item 問題１と同じ1次元の Schr\"odinger方程式を、$-V<E<0$ のときに考える。
      以下の問いに答えよ。
      \begin{description} 
      \item[(a)] パリティ偶のエネルギー固有状態を求め、その数が $n$ 個になる
                 ための条件を示せ。
      \item[(b)] パリティ奇のエネルギー固有状態を求め、
                 その数が $n$ 個になるための条件を示せ。
      \end{description}

\item 1次元の Schr\"odinger方程式
      \begin{equation} 
       {\hat H} |E>= E |E>, \ \ \ 
       {\hat H} = \frac{{\hat p}^2}{2 m} + V({\hat x})
      \end{equation} 
      を考える。$E>0$ であるとし、ポテンシャルエネルギーは
      \begin{displaymath} 
       V(x) = V \left( \delta(x + a) + \delta(x - a) \right) 
      \end{displaymath} で与えられるとする。以下の問いに答えよ。
      \begin{description} 
      \item[(a)] ポテンシャルエネルギー $V \delta(x-x_0)$ をもつ一次元の 
                 Schr\"odinger方程式に対して、解の $x = x_0$ における
                 接続条件を求めよ。以下ではこの (a) の結果を使うこと。
      \item[(b)] Schr\"odinger 方程式 (2) を解いて、パリティ偶のエネルギー
                 固有状態を求めよ。
      \item[(c)] Schr\"odinger 方程式 (2) を解いて、パリティ奇の
                 エネルギー固有状態を求めよ。
      \end{description} 
\end{enumerate} 
\vfill
\begin{flushright}
\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html
\end{flushright}
\end{document} 
