\documentstyle[11pt]{jarticle}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}


\begin{document}
\small
\pagestyle{empty}


\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�2�齬\hspace{1cm}  No.8\hspace{5mm}00/6/8}
\end{center}
\begin{enumerate}
\medskip

\item ���������Ǽ������褦�ˡ��ѱ�ư�̥٥��ȥ� ${\bf L}$ �γ���ʬ 
$L_x,L_y,L_z$ �ϡ� $L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$ �ȸ򴹤��롣����ϡ�
$L_x,L_y,L_z$ �Τ��줾�줬 $L^2$ �Ȥδ֤�Ʊ����ͭ���֤��Ĥ��Ȥ��̣
���Ƥ��롣�������������� $L_x$ �� $L_y$��$L_y$ �� $L_z$��$L_z$ �� 
$L_x$ �ϸ򴹤����������δ֤˰��̤ˤ�Ʊ����ͭ���֤��ʤ���
����ϰ츫̷�⤷�Ƥ���褦�ˤߤ��롣���Τ��Ȥ�ͤ��뤿��ˡ�
����Ū�� $L_x,L_y,L_z$ �θ�ͭ���֤�Ĥ��äƤߤ褦��
\begin{description}
\item[(1)] $L^2$ �θ�ͭ���֤ϵ���Ĵ�´ؿ� $Y_l^m(\theta,\varphi)$ ��Ϳ
����졢�б����� ��ͭ�ͤ� $l(l+1) \hbar^2$ �Ǥ��롣$L^2$ �θ�ͭ���֤�
��ͭ�ͤ� $l(l+1) \hbar^2$ �ΤȤ� $m = -l,-l+1,\cdots,l-1,l$ ���б����� 
$2 l + 1$ �Ť˽̽Ť��Ƥ��롣$L_i$ ($i = x,y,z$) �� $L^2$ �ȸ򴹤��뤳
�Ȥ�Ȥä� $L_i Y_l^m(\theta,\varphi)$ ��$L^2$ �θ�ͭ���֤Ǥ��뤳�Ȥ�
�������б������ͭ�ͤ���衣
\item[(2)] $l = 0$ �ξ���ͤ��褦�����ΤȤ��ϡ�$L^2$ �θ�ͭ���֤˽̽ŤϤʤ���
(1) �η�̤�Ȥäơ�$Y_0^0(\theta,\varphi)$ �� $L_i$ �θ�ͭ���֤Ǥ�
���뤳�Ȥ򼨤���
\item[(3)] $l = 1$ �ξ���ͤ��褦�����ΤȤ��ϡ�$L^2$ �θ�ͭ���֤ϣ��Ť�
�̽Ť��Ƥ��롣���ΤȤ����٥��ȥ� $L_i Y$ �� $Y$ ��
\begin{displaymath}
L_i Y = \left( \begin{array}{c} L_i Y_1^{-1}(\theta,\varphi) \\ 
L_i Y_1^0(\theta,\varphi) \\ L_i Y_1^1(\theta,\varphi) \end{array}\right), 
\ \ \ \ \   
Y = \left( \begin{array}{c} Y_1^{-1}(\theta,\varphi) \\
Y_1^0(\theta,\varphi) \\ Y_1^1(\theta,\varphi) \end{array} \right) 
\end{displaymath}
��������롣(1) �η�̤��顢Ŭ���� $3 \times 3$ ���� $A$ ��Ȥä� 
$L_i Y = A Y$ �Ƚ񤱤뤳�Ȥ򼨤���
\item[(4)] ���� $A$ ��ž�ֹ���� $A^{T}$ �Ȥ������θ�ͭ�٥��ȥ�� 
$(c_1,c_2,c_3)^{T}$���б������ͭ�ͤ� $\alpha$ �Ȥ��� 
($T$ ��ž�֤��̣����ˡ��٥��ȥ� $(c_1,c_2,c_3)$ �� $L_i Y = A Y$ 
��ξ�դ˺����餫���뤳�Ȥˤ�ꡢ $c_1 Y_1^{-1} (\theta,\varphi) + c_2Y_1^0 
(\theta,\varphi) + c_3 Y_1^1 (\theta,\varphi)$ �� $L_i$ �θ�ͭ���֤ǡ�
��ͭ�ͤ� $\alpha$ �ˤʤ뤳�Ȥ򼨤���
\item[(5)] $l = 1$ �� $i = x,y,z$ �ΤȤ��˶���Ū�� ���� $A$ ���ᡢ
$A^{T}$ �θ�ͭ�٥��ȥ�ȸ�ͭ�ͤ�׻����衣
\item[(6)] ����κǽ�˽Ҥ٤�̷�⤬�ɤΤ褦�˲�褵�줿���Ҥ٤衣
\end{description}

\item $L^2$ �� $L_z$ ���򴹤��뤳�Ȥ��顢$L^2$ �� $L_z$ �ˤ�Ʊ����ͭ�ؿ� $| 
\alpha,\beta>$ ��¸�ߤ���
\begin{eqnarray}
L^2 | \alpha, \beta> & = & \alpha | \alpha,\beta>, \nonumber \\
L_z | \alpha, \beta> & = & \beta | \alpha,\beta> \nonumber 
\end{eqnarray}
��������������Ʊ����ͭ�ؿ��ϵ���Ĵ�´ؿ���Ϳ�����뤬������
�˺�ɸɽ����ʲ��μ���Ƴ���Ƥߤ褦��
\begin{description}
\item[(1)] $L_+ = L_x + i L_y$, $L_- = L_x - i L_y$ ���Ф����򴹴ط�
$[L_z,L_+]$, $[L_z,L_-]$ ��׻����衣
\item[(2)] (1) �η�̤�Ȥäơ�$L_+ |\alpha,\beta>$, $L_- |\alpha, \beta>$ 
�� $L_z$ �θ�ͭ�ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�����ͭ�ͤ���衣
\item[(3)] $|\alpha, \beta>$ ���黻�� $L_- L_+$ �θ�ͭ�ؿ��Ǥ⤢�뤳��
�򼨤������θ�ͭ�ͤ���衣����ˡ����θ�ͭ�ͤ�����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
\item[(4)] $\alpha$ ���ͤ����ꤵ��Ƥ���Ȥ��褦�����ΤȤ���$\beta$ ��
�ͤ����¤���Ƥ��ꡢ������ $\beta^{\prime}$ ��
�Ǿ��� $\beta^{\prime \prime}$ �����뤳�Ȥ򼨤���
\item[(5)] (2) ����� (4) �η�̤��顢
\begin{displaymath}
L_+ | \alpha, \beta^{\prime}> = 0, \ \ L_- |\alpha, \beta^{\prime \prime}> = 0 
\end{displaymath}
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
\item[(6)] (5) ��Ƴ�������ϡ�$L_+$ �� $L_-$ �ζ˺�ɸɽ�������������
��ʬ�������ˤʤ롣������ʬ��������򤤤� $| \alpha, \beta^{\prime}>$ �� 
$|\alpha, \beta^{\prime \prime}>$ �ζ˺�ɸɽ������衣
\end{description}


\item 
3������Ĵ�¿�ư�Ҥ� Schr\"odinger������
\begin{displaymath}
\left\{ - \frac{\hbar^2}{2 m} \left(
\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + 
\frac{\partial^2}{\partial z^2}
\right) + \frac{m \omega^2}{2} ( x^2 + y^2 + z^2 ) 
\right\} \Psi(x,y,z) = E \Psi(x,y,z)
\end{displaymath}
��ͤ��롣�ʲ����䤤�������衣
\begin{description}
\item[(1)] �˺�ɸ���Ѥ��ơ���ư�ؿ��� $\Psi = \frac{\chi(r)}{r} Y_l^m(\theta,
\varphi)$ �Ƚ񤯡����ΤȤ���$\chi(r)$ ����������ʬ����������衣
\item[(2)] (1) �ǵ�᤿��ʬ���������ѿ� $\xi = r^2$��Ȥäƽ�ľ����
\item[(3)] $\chi = {\rm e}^{- (m \omega/2 \hbar) \xi} 
\xi^{(l + 1)/2} v(\xi)$ �Ȥ�����
$v(\xi)$ ����������ʬ����������衣
\item[(4)] $v(\xi) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k \xi^k$ �Ȥ�����(3) �ǵ�᤿
��ʬ���������������衣���η�̤��顢���� $c_k$ �δ֤���Ω������������
���衣
\item[(5)] $v(\xi)$ ��¿�༰�ˤʤ�褦�� ���ͥ륮�� $E$ ���ͤ����衣
\end{description}
\end{enumerate}
\vfill
\begin{flushright}
\tt
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html
\end{flushright}
\end{document}


