\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{24.2cm}
\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}

\newcommand{\bvec}[1]{{\mbox{\boldmath $#1$}}}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1|}
\newcommand{\nbra}[1]{\langle #1}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\ip}[2]{\langle #1|#2\rangle}

\begin{document}
%\small
\pagestyle{empty}


\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�2�齬\hspace{1cm}  ��ݡ������� No.2\hspace{5mm}00/7/13}\\
\smallskip
(��д���:9��13�����5��. ��о���F632.)
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Pauli����
      \[
        \sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} 
                           0 & 1 \\ 
                           1 & 0 
                          \end{array} 
                   \right),\quad
        \sigma_2 = \left( \begin{array}{cc} 
                           0 & -i \\ 
                           i & 0 
                          \end{array} 
                   \right),\quad
        \sigma_3 = \left( \begin{array}{cc} 
                           1 & 0 \\ 
                           0 & -1 
                          \end{array} 
                   \right)
      \]
      �ˤĤ��Ƽ��μ��򼨤���
      \begin{enumerate}
      \item ȿ�򴹴ط�
            \[
              \{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}
            \]
      \item �򴹴ط�
            \[
              [\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k
            \]
      \item \[
              (\bvec{\sigma}\cdot{\bvec{A}})(\bvec{\sigma}\cdot{\bvec{B}})
              =\bvec{A}\cdot\bvec{B}+
               i\bvec{\sigma}\cdot(\bvec{A}\times\bvec{B})
            \]
      \item \[
              \exp\left(-\frac{i}{2}\bvec{\sigma}\cdot\bvec{n}\phi\right)
              =\cos\frac{\phi}{2}-
               i\bvec{\sigma}\cdot\bvec{n}\sin\frac{\phi}{2}
            \]
            ��������$\bvec{n}^2=1$��(���Ÿ�����������
            $\bvec{A}=\bvec{B}$�Ȥ��������뼰���Ѥ��衣)
      \end{enumerate}
\item ���ԥ�$1/2$��γ��(��ƻ�ѱ�ư�̤ʤ�)��$J_z=\pm\hbar/2$�ξ��֤�
      ���줾��
      \[
        \left(\begin{array}{c} 
               1\\ 
               0             
              \end{array}
        \right)\,,\quad
        \left(\begin{array}{c} 
               0\\ 
               1             
              \end{array}
        \right)
      \]
      ����٥��ȥ��ɽ���������Ϥ��줾�쥹�ԥ�$z$������������
      $(0,0,1)$����������֤��������$(0,0,-1)$����������֤�
      �ʤäƤ��롣����2�Ĥξ��֤��������ǥ��ԥ󤬥٥��ȥ�
      $(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$��
      ��������������֤�ɽ����(ñ�̥٥��ȥ�$\bvec{n}$�Τޤ��γ���
      $\alpha$�β�ž��ɽ���黻�Ҥ�
      $\exp(-i\hat\bvec{J}\cdot\bvec{n}\alpha/\hbar)$�Ǥ��ꡢ
      $j=1/2$�ΤȤ���No.12������1�Ǥߤ��褦�ˡ�$\hat J_i=\hbar\sigma_i/2$
      ��ɽ����뤳���Ѥ��衣)
\item �ѱ�ư�̤������ˤ��С����оΥݥƥ󥷥������γ�Ҥ�
      ���ͥ륮����ͭ���֤ϡ�$\bvec{L}^2=\hbar^2 l(l+1)$�ΤȤ���
      �����̻ҿ�$m$��$2l+1$��($-l,\cdots,l$)���ͤˤĤ��ƽ��ष�Ƥ��롣
      �Ȥ��������Ǹ���(Coulomb����Ǥα�ư)�Ǥϡ����̻ҿ�$n$��Ϳ�����
      $l$��$0,1,\cdots,n-1$��$n$�Ĥ��ͤ�Ȥ뤳�Ȥ��Ǥ���
      $l$���ͤˤ�餺���ͥ륮����ͭ�ͤ�$E=-E_0/(2n^2)\,(E_0=me^4/\hbar^2)$
      �Ȥʤ롣���ʤ������ǽҤ٤�$m$�ν���Τۤ���$l$�ˤ���ब
      ���뤳�Ȥˤʤ롣���ν������ͳ��ͤ��褦��
      \begin{enumerate}
      \item �ϥߥ�ȥ˥����$H=\bvec{p}^2/(2m)-e^2/r$�Ȥ����
            �٥��ȥ�
            \[
              \bvec{A}=-e^2\frac{\bvec{r}}{r}+
                       \frac{1}{m}\bvec{p}\times\bvec{L}
            \]
            ����¸�̤Ǥ��뤳�Ȥ򡢸�ŵŪ�˳Τ���衣
            (��ư���������Ѥ��ƻ�����ʬ�������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��Ф褤��)
      \item �̻����Ǥ�$\bvec{A}$���б����륨��ߡ��ȱ黻�ҤȤ���
            \[
              \hat\bvec{A}=
               -e^2\frac{\bvec{r}}{r}+
               \frac{1}{2m}(\bvec{\hat p}\times\bvec{\hat L}
                            -\bvec{\hat L}\times\bvec{\hat p})
            \]
            ��ͤ���Ф褤��������$\hat\bvec{A}$���ϥߥ�ȥ˥���
            $\hat H=\hat\bvec{p}^2/(2m)-e^2/r$�ȲĴ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
      \item ���θ򴹴ط��򼨤���
            \[
              [\hat L_i,\hat A_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat A_k\,,\quad
              [\hat A_i,\hat A_j]=
               -\frac{2}{m}i\hbar\epsilon_{ijk}\hat H\hat L_k
            \]
            (��Ⱦ�Ϥܼۤ����Ǥ��롣) ���ʤ����$\hat\bvec{A}$�Ȥ���
            ¾����¸�̤ȲĴ��Ǥʤ���������¸�̤�¸�ߤ��뤳�Ȥ�ʬ�ä���
            ���줬��Ҥν������ͳ�Ǥ��롣�ʲ��ǤϤ��Τ��Ȥ򤵤��
            ����Ū�˳Τ�褦��
      \item ��Υ��ͥ륮��$E$����ľ��֤�ͤ��뤳�Ȥˤ���ȡ�
            ��θ򴹴ط���$\hat H$��$E$���֤������Ƥ褤��
            $\hat\bvec{L}=\hbar\hat\bvec{l}$��
            $\hat\bvec{A}=\hbar\sqrt{-2E/m}\,\hat\bvec{u}$
            �Ǳ黻��$\hat\bvec{l}$��$\hat\bvec{u}$��Ƴ�������
            \[
              [\hat l_i,\hat l_j]=i\epsilon_{ijk}\hat l_k\,,\quad
              [\hat l_i,\hat u_j]=i\epsilon_{ijk}\hat u_k\,,\quad
              [\hat u_i,\hat u_j]=i\epsilon_{ijk} \hat l_k
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤��������$\hat l_i,\hat u_i$��4�������֤�
            ��ž�������ҤǤ��뤳�Ȥ�ɽ���Ƥ��ơ����줬�Ϥλ����о���
            �Ǥ��롣
      \item $\hat\bvec{j}_1=(\hat\bvec{l}+\hat\bvec{u})/2$��
            $\hat\bvec{j}_2=(\hat\bvec{l}-\hat\bvec{u})/2$�Ȥ���ȡ�
            \[
              [\hat j_{1i},\hat j_{1j}]=i\epsilon_{ijk}\hat j_{1k}\,,\quad
              [\hat j_{2i},\hat j_{2j}]=i\epsilon_{ijk}\hat j_{2k}\,,\quad
              [\hat j_{1i},\hat j_{2j}]=0
            \]
            �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤������ʤ��������θ򴹴ط���2�Ĥ���Ω��
            �ѱ�ư��(3������ž��������)�θ򴹴ط���Ʊ���Ǥ��롣
      \item $\hat\bvec{l}\cdot\hat\bvec{u}=\hat\bvec{u}\cdot\hat\bvec{l}=0$
            �򼨤���
            \[
              \hat\bvec{j}_1^2=\hat\bvec{j}_2^2=
              \frac{1}{4}(\hat\bvec{l}^2+\hat\bvec{u}^2)=
              -\frac{1}{4}\left(1+\frac{E_0}{2E}\right)
            \]
            ��Ƴ����(Ŭ��$\hat H$��$E$���֤������衣)
      \item $\hat\bvec{j}_1^2=\hat\bvec{j}_2^2=j(j+1)\,\,\,(j=0,1/2,1,\cdots)$
            �Ȥ�����$E=-E_0/(2n^2)$�Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���������
            $n=2j+1=1,2,3\cdots$�Ǥ��롣
      \item ���ͥ륮����ͭ��$E=-E_0/(2n^2)$�ξ��֤ν����٤���衣
            ($j_{1z}$�ˤĤ��Ƥν����٤�$j_{2z}$�ˤĤ��Ƥν����٤���
             �������˵�ޤ롣)
      \item $\hat\bvec{l}=\hat\bvec{j}_1+\hat\bvec{j}_2$���Ѥ���$l$��
            �Ȥ��ϰϤ�$0$����$n-1$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\begin{flushright}
\tt
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html
\end{flushright}
\end{document}
