\documentstyle[11pt]{jarticle}
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\begin{document}
\small
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\large\gt 量子力学2演習\hspace{1cm}  No.1\hspace{5mm}01/4/19}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item
中心力場の Schr\"odinger方程式
\begin{displaymath}
\left\{ - \frac{\hbar^2}{2 m} \left(
\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +  
\frac{\partial^2}{\partial z^2}
\right) + U(r) \right\} \Psi(x,y,z) = E \Psi(x,y,z)
\end{displaymath}
を考える。$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ である。以下の問いに答えよ。
\begin{description}
\item[(1)] 極座標 $x = r \cos\varphi \sin\theta, \ \
y = r \sin\varphi \sin\theta, \ \ z = r \cos\theta$ を導入する。
偏微分係数
\begin{displaymath}
\frac{\partial r}{\partial x}, \
\frac{\partial r}{\partial y}, \
\frac{\partial r}{\partial z}, \
\frac{\partial \theta}{\partial x}, \
\frac{\partial \theta}{\partial y}, \
\frac{\partial \theta}{\partial z}, \
\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \
\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \
\frac{\partial \varphi}{\partial z}
\end{displaymath}
の極座標表示を計算せよ。
\item[(2)] (1) の結果を使って、微分演算子
\begin{displaymath}
\frac{\partial}{\partial x}, \
\frac{\partial}{\partial y}, \
\frac{\partial}{\partial z}
\end{displaymath}
の極座標表示を書け。
\item[(3)] (2) の結果を使って、中心力場の Schr\"odinger 方程式の
極座標表示を求めよ。
\item[(4)] $\Psi$ を $\Psi(r, \theta, \varphi)=R(r)Y(\theta,  
\varphi)$
と変数分離した時、 $R(r)が満たす方程式を導け。さらに、Y(\theta,  
\varphi)$が方程式
\[ \frac{\partial^2 Y}{\partial\theta^2}
  +\cot{\theta}\frac{\partial Y}{\partial\theta}
  +\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2 Y}{\partial\varphi^2}
  + l (l + 1) Y =0
\]
を満たすことを示せ。ただし、$l$ は定数。
\end{description}

\item
問題 1 では、解の角度部分 $Y(\theta,\varphi)$ が満たす方程式が導かれ 
た。それについて以下の問いに答えよ。
\begin{description}
\item[(1)] 変数分離 $Y(\theta,\varphi) = \Theta(\theta)
\Phi(\varphi)$ を行い、$\Theta(\theta), \Phi(\varphi)$ が満たす方程
式を導け。
\item[(2)] $\Phi(\varphi)$ が満たす方程式を解け。$\Phi(\varphi)$ が
一価関数であることから何がわかるか。
\item[(3)] 変数変換 $x = \cos\theta$ を行い、$\Theta(x)$ が Legendre  
 
の陪微分方程式
\begin{displaymath}
(1 - x^2) \frac{{\rm d}^2}{{\rm d} x^2} \Theta(x) - 2 x \frac{{\rm
d}}{{\rm d} x} \Theta(x) + \left\{ l(l + 1) - \frac{m^2}{1 -
x^2} \right\} \Theta(x) = 0
\end{displaymath}
を満たすことを示せ。ただし、$m$ は整定数。
\item[(4)] Legendre 多項式
\begin{displaymath}
P_l(x)  = \frac{1}{2^l l!} \frac{{\rm d}^l}{{\rm d} x^l} (x^2 - 1)^l
\end{displaymath}
が Legendre の微分方程式
\begin{displaymath}
(1 - x^2) \frac{{\rm d}^2}{{\rm d} x^2} P_l(x) - 2 x \frac{{\rm
d}}{{\rm d} x} P_l(x) + l(l + 1) P_l(x) = 0
\end{displaymath}
を満たすことから、 Legendre 陪関数
\begin{displaymath}
P^m_l(x) = (1 - x^2)^{m/2} \frac{{\rm d}^m}{{\rm d} x^m} P_l(x)
\end{displaymath}
は Legendre の陪微分方程式を満たすことを示せ。これによって、解の角度 
部分が $Y^m_l(\theta,\varphi) = N^m_l P^m_l(\cos\theta) {\rm e}^{i m  
\varphi}$ で与えられることがわかる。これを球面調和関数と呼ぶ。 
$N^m_l$ は規格化定数である。

\end{description}

\item 角運動量ベクトル ${\bf L}$の各成分は、
\begin{displaymath}
L_x = \frac{\hbar}{i} \left( y \frac{\partial}{\partial z} -
z \frac{\partial}{\partial y} \right), \ \
L_y = \frac{\hbar}{i} \left( z \frac{\partial}{\partial x} -
x \frac{\partial}{\partial z} \right), \ \
L_z = \frac{\hbar}{i} \left( x \frac{\partial}{\partial y} -
y \frac{\partial}{\partial x} \right)
\end{displaymath}
で与えられる。これについて以下の問いに答えよ。
\begin{description}
\item[(1)] 問題 1 の (2) の結果を使って、$L_x, \ L_y, \ L_z$ の極座 
標表示
を求めよ。
\item[(2)] $L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$ の極座標表示を計算せよ。
\item[(3)] 問題 2 で求めた球面調和関数 $Y^m_l(\theta,\varphi)$ が  
$L^2$ と
$L_z$ の同時固有状態になっていることを示し、固有値を求めよ。
\end{description}
\end{enumerate}

\vfill
\begin{flushright}
{\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html}
\end{flushright}

\end{document}
