\documentstyle[11pt]{jarticle} 
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm} 
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm} 
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{24.2cm} 
\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\small

\begin{center}
{\normalsize\gt �̻��ϳ�2�齬\hspace{1cm} No.4\hspace{5mm}01/5/17}
\end{center}
\begin{enumerate}


\item ��ư�ؿ� $\Psi_1(q)$ �� $\Psi_2(q)$ ����ɸ $q$ �δؿ��Ǥ���Ȥ�
�褦���黻�� ${\hat A}$ ���Ф��ơ��黻�� ${\hat A}^{\dagger}$ ��¸�ߤ���
Ǥ�դ�$\Psi_1,\Psi_2$ ���Ф���
\begin{displaymath}
\int ({\hat A} \Psi_2(q))^* \Psi_1(q) {\rm d}q = \int \Psi_2^*(q)
{\hat A}^{\dagger} \Psi_1(q) {\rm d}q
\end{displaymath}
���������Ȥ���${\hat A}^{\dagger}$ �� ${\hat A}$ ���Ф��륨��ߡ��ȶ�
��ʱ黻�ҤȸƤ֡�
\begin{description}
\item[(1)] �֥饱�åȵ����Ƴ���ơ�$\Psi_i(q)$���б�������֤�
���å�$| \Psi_i \rangle$��ɽ���������
\begin{displaymath}
\langle\Psi_1 | \Psi_2\rangle = \int \Psi_1^*(q) \Psi_2(q) {\rm d}q, \
\ \langle\Psi_1 |{\hat A}| \Psi_2\rangle = \int \Psi_1^*(q) {\hat A}
\Psi_2(q) {\rm d}q
\end{displaymath}
�Τ褦�˵�ˡ������򤹤롣���ΤȤ���$\langle\Psi_1 | {\hat
A}^{\dagger} |\Psi_2\rangle = \langle\Psi_2 | {\hat A}
|\Psi_1\rangle^*$ ��������衣

\item[(2)] ���� $|\Psi\rangle$ �˺��Ѥ���Ⱦ��� 
$\langle\Psi_2|\Psi\rangle |\Psi_1\rangle$ ��Ϳ����黻�Ҥ�
$|\Psi_1\rangle\langle\Psi_2|$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ��롣����$|n\rangle$\,
($n$ �������ˤ�����ľ��ʤ��ʤ�� $\langle m|n\rangle =
\delta_{mn}$) �Ǥ��äơ������⡢Ǥ�դξ��� $|\Psi\rangle$ �� 
$|\Psi\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$ �Τ褦��Ÿ���Ǥ���Ȥ��褦������
�Ȥ���$\sum_n |n\rangle\langle n| = 1$ �򼨤����ʥҥ��: $\sum_n
|n\rangle\langle n|$ ��Ǥ�դξ��֤˺��Ѥ������Ȥ������֤��Ѥ��ʤ�����
�򼨤��Ф褤����

\item[(3)] ����$|\nu\rangle$\,($\nu$ �ϼ¿���
������ľ��ʤ��ʤ�� $\langle \mu|\nu\rangle = \delta(\mu - \nu)$) �Ǥ���
�ơ������⡢Ǥ�դξ��� $|\Psi\rangle$ �� $|\Psi\rangle = \int {\rm
d}\nu c_\nu |\nu\rangle$ �Τ褦��Ÿ���Ǥ���Ȥ��褦�����ΤȤ���$\int
{\rm d}\nu |\nu\rangle\langle \nu| = 1$ �򼨤���

\item[(4)] (2) �ǽҤ٤��������� $|n\rangle$�ʤޤ��� (3) �ǽҤ٤�����
���� $|\nu\rangle$) ��¸�ߤ����Ȥ��褦�����Τ褦���������� 
$|n\rangle$(�ޤ��� $|\nu\rangle$)�ν���ϴ����Ǥ���Ȥ��������ΤȤ���
(1) �η�̤�Ȥäơ�$\langle \Psi| {\hat A}^{\dagger} {\hat A}
|\Psi\rangle \geq 0$ �򼨤���
\end{description}

\item ����ľ��ʾ��� $|\nu\rangle$ �δ����ʽ��礬����Ȥ��롣����
�ˤĤ��ơ��ʲ����䤤�������衣
\begin{description}
\item[(1)] ���̤ξ��֤�ɽ�� $|\Psi\rangle$�����̤α黻�� ${\hat A}$ ��
�Ф�
\begin{displaymath}
|\Psi\rangle = \int {\rm d}\nu \langle \nu|\Psi\rangle |\nu\rangle, \ \
\ {\hat A} = \int \int {\rm d}\nu {\rm d}\mu \langle \mu|{\hat
A}|\nu\rangle |\mu\rangle\langle \nu|
\end{displaymath}
�򼨤���
\item[(2)]�켡���ΰ��ֱ黻�Ҥ� ${\hat x}$ �Ȥ������θ�ͭ���֤� 
$|x\rangle$ �Ȥ��롣�Ĥޤꡢ${\hat x} |x\rangle = x |x\rangle$ �Ǥ��롣
��ͭ���� $|x\rangle$ �ν���ϡ�����ľ��ʾ��֤δ����ʽ���Ǥ����
���롣���ΤȤ������֤α黻�� ${\hat x}$ �ι������� $\langle x^{\prime
\prime}|{\hat x}|x^{\prime}\rangle$ ����衣
\item[(3)] ���֤ȱ�ư�̤δ֤θ򴹴ط� $[{\hat x},{\hat p}] = i \hbar$ 
��ξ�դι���ɽ����׻����衣���η�̤��顢��ư�̱黻�� ${\hat p}$ �ι�
������ $\langle x^{\prime \prime}|{\hat p}|x^{\prime}\rangle$ ����衣
�ʥҥ��: �ǥ륿�ؿ����������ط��� $x \delta^{\prime}(x) = -
\delta(x)$ ��Ȥ�����

\item[(4)]��ư�̱黻�Ҥθ�ͭ���֤� $|p\rangle$ �Ƚ񤯡����ʤ����
${\hat p} |p\rangle = p |p\rangle$ �Ǥ��롣(3) �η�̤�Ȥäơ�
$\langle x^{\prime}|p\rangle$ ���ͭ�� $p$ �δؿ��Ȥ��Ƶ��衣
\end{description}


\item 
���֤˰�¸���� Schr\"odinger������
\begin{displaymath}
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |t\rangle = {\hat H} |t\rangle
\end{displaymath}
��ͤ��롣�ʲ����䤤�������衣
\begin{description}
\item[(1)] �ϥߥ�ȥ˥��� ${\hat H}$ �����֤˰�¸���ʤ��Ȥ��롣
Schr\"odinger �������β�
\begin{displaymath}
|t\rangle = {\rm exp}\left(- \frac{i}{\hbar} {\hat H} t \right)
|0\rangle
\end{displaymath}
��Ϳ�����뤳�Ȥ򼨤���
\item[(2)] �ϥߥ�ȥ˥��󤬻��֤˰�¸���뤬���ۤʤ����Υϥߥ�ȥ˥�
�󤬸ߤ��˸򴹤���Ȥ��롣�ʤĤޤꡢ$[{\hat H}(t),{\hat
H}(t^{\prime})] = 0$�ˤ��ΤȤ��� Schr\"odinger �������β�
\begin{displaymath}
|t\rangle = {\rm exp}\left(- \frac{i}{\hbar} \int_0^t {\hat
H}(t^{\prime}) {\rm d}t^{\prime} \right) |0\rangle
\end{displaymath}
��Ϳ�����뤳�Ȥ򼨤���
\item[(3)] �ۤʤ����Υϥߥ�ȥ˥�����Ĵ��ʤȤ��ˤϡ�(2) �ξ�����
��þ���뤳�Ȥ��������衣
\item[(4)] �켡���μ�ͳγ�Ҥ�ͤ��褦��������ϡ�$|0\rangle =
|x\rangle$ �Ȥ��롣�����ʤ�������� $t = 0$ �Ǥϰ��֤θ�ͭ���֤ˤ��롣
�ϥߥ�ȥ˥���ϡ�${\hat H} = {\hat p}^2/2m$ ��Ϳ�����롣���ΤȤ���
$\langle x^{\prime}|t\rangle$ ��׻����衣
\end{description}
\end{enumerate}
\vfill
\begin{flushright}
{\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html}
\end{flushright}
\end{document}
