\documentstyle[a4j,11pt]{jarticle}

\begin{document}
\small
\pagestyle{empty}


\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�2�齬\hspace{1cm}  No.5\hspace{5mm}01/5/31}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item ����򴹴ط���ߤ����黻��$\hat q,\,\hat p$
      �ˤĤ��ƹͤ��롣���ʤ����
      $[\hat q,\hat p]=i\hbar$�Ǥ��롣
      \begin{enumerate}
      \item ��˥��꡼�黻��
            \[
              \hat U(a)=\exp(a\hat p),
              \quad ������a�ϼ¿�, 
            \]
            ��$\hat U(a)\hat U(b)=\hat U(a+b)$�����
            $\hat U(a)^{-1}\hat q\hat U(a)=\hat q+a$��ߤ���
            ���Ȥ򼨤���
      \item ����η�̤�$\hat U(a)$����ư��$a$��ʿ�԰�ư(�¿�)�黻��
            �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��Ƥ��롣$\hat U(a)$����֤θ�ͭ�٥��ȥ�
            $|q\rangle$�˺��Ѥ�����$\hat U(a)|q\rangle=|q+a\rangle$
            �Ǥ��뤳�Ȥ�Τ���衣
      \item $\hat U(a)|q\rangle=|q+a\rangle$��ξ�դ�$a$�ˤĤ���
            Ÿ�����뤳�Ȥˤ�ꡢ$\hat p$��$|q\rangle$�ˤɤΤ褦��
            ���Ѥ��뤫���ꤻ�衣
      \item $\langle q|\hat q|\psi\rangle$�����
            $\langle q|\hat p|\psi\rangle$��׻����뤳�Ȥˤ�ꡢ  
            ��ɸɽ������ư�ؿ�$\langle q|\psi\rangle=\psi (q)$��
            �Ф���$\hat q$�����$\hat p$��ɽ������衣
      \item $|q\rangle$�δ��������Ѥ��Ƽ��μ��򼨤���
            $\langle\psi_1|\psi_2\rangle=
             \int dq\,\psi_1(q)^*\psi_2(q)$
      \item $\hat q|p\rangle$�Ϥɤ��񤱤뤫��
      \end{enumerate}
\item �Գ������ط��ˤĤ��ƹͤ��롣
      \begin{enumerate}
      \item $\langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle
             \geq|\langle\alpha|\beta\rangle|^2$ (Schwarz��������)
            ��Ƴ����
      \item ���륨��ߡ��ȱ黻��$A$���Ф��ơ�
            $\Delta A=A-\langle A\rangle$�Ȥ����黻�Ҥ�������롣
            ������$\langle A\rangle$�Ϥ��޹ͤ��Ƥ������
            (ɬ�פʤȤ���$|\rangle$�Ƚ񤯤��Ȥˤ���)��
            �Ĥ��Ƥδ����ͤ�ɽ����
            $|\alpha\rangle=\Delta A|\rangle$��
            $|\beta\rangle=\Delta B|\rangle$�ȹͤ���
            ����η�̤��Ѥ���
            $\langle(\Delta A)^2\rangle\langle(\Delta B)^2\rangle
             \geq |\langle\Delta A\Delta B\rangle|^2$�򼨤���
      \item $\Delta A\Delta B=\frac{1}{2}[A,B]+
             \frac{1}{2}\{\Delta A,\Delta B\}$�򼨤�����������   
            $\{\quad,\quad\}$��ȿ�򴹻Ҥ�ɽ����
      \item �ʾ�η�̤��Ѥ����Գ������ط�
            $
              \langle(\Delta A)^2\rangle\langle(\Delta B)^2\rangle
              \geq |\langle [A,B]\rangle|^2/4           
            $
            ��Ƴ����
     \item ��μ������椬����Ω�ĤΤϡ�
           $\Delta A|\rangle=\lambda\Delta B|\rangle$�ǡ�
           $\lambda$��������ξ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
     \item $\hat q$��$\hat p$���Գ������ط���Ƴ����
     \end{enumerate}
\item ���֥٥��ȥ��Schr\"odinger������
      \[
      i\hbar\frac{d}{dt}|\psi (t)\rangle_S=\hat H |\psi (t)\rangle_S
      \]
      �ˤ������äƻ���ȯŸ�����黻�Ҽ��Ȥϻ���ȯŸ�����ˤ��δ����ͤ�
      ���֥٥��ȥ�λ���ȯŸ�ˤ�äơ�
      $\bar O(t)=_S\!\langle \psi (t)|\hat O_S |\psi (t)\rangle_S $
      �Ȼ��֤ȤȤ���Ѳ�����褦�ʸ�����Schr\"odinger�����ȸƤ֡�
      ���������֥٥��ȥ�ϻ��֤˰�¸�����黻�Ҥ�����ȯŸ����褦��
      �������ǽ�Ǥ����Heisenberg�����ȸƤ֡��ʲ��Ǥϴ�ñ�Τ���
      $\hat H$��$\hat O_S$���ۤˤϻ��֤˰�¸���ʤ��Ȥ��롣
      \begin{enumerate}
      \item Heisenberg�����Ǥλ��֤˰�¸���ʤ����֥٥��ȥ��
            $|\psi\rangle_H=|\psi(0)\rangle_S$��������롣
            $\bar O(t)$������(����)�˰ͤ�ʤ����ȡ����ʤ��
            $\bar O(t)=_H\!\langle \psi |\hat O_H(t) |\psi\rangle_H$
            �Ƚ񤱤뤳�Ȥ��Ѥ��ơ�$\hat O_H(t)$��$\hat O_S$�δط�����衣
      \item ����η�̤�$t$����ʬ���ơ�$\hat O_H(t)$�λ���ȯŸ��
            ���ꤹ����ʬ������(Heisenberg������)��Ƴ����
      \item $\hat q$��$\hat p$���Ф���Heisenberg���������ᡢ
            ����餬��ŵŪ��������������Ʊ�����ˤʤ뤳�Ȥ򼨤���
            ��������
            $\hat H={\hat p}^2/(2m)+V(\hat q)$
            �Ȥ��롣
      \item ����Ǹ����褦�ˡ�
            $\frac{1}{i\hbar}[\quad,\quad]\rightarrow \{\quad,\quad\}$
            �ȸ򴹻Ҥ�Poisson��̤��֤�������
            $\hat q\rightarrow q$��$\hat p\rightarrow p$��
            �֤��������Heisenberg�������ϸ�ŵ
            Ū�ʱ�ư���������б����Ƥ��뤳�Ȥ�ʬ���롣���θ򴹻Ҥ�
            Poisson��̤�������ϡ�
            \[
              \left(\frac{1}{i\hbar}[\hat O_1,\hat O_2]\right)_{\rm cl}
              =\left\{(\hat O_1)_{\rm cl},(\hat O_2)_{\rm cl}\right\}
            \]
            �Ȱ��̲��Ǥ��롣��������$\hat q$��$\hat p$�ǽ񤱤Ƥ���
            $\hbar$���ۤ˰�¸���Ƥ��ʤ��黻�Ҥ�ͤ���    
            $(\hat O)_{\rm cl}$��$\hat O$���Ф���
            $\hat q\rightarrow q$��$\hat p\rightarrow p$�Ȥ���
            �֤�������Ԥä���ΤȤ��롣
            $\hat O_1=U(\hat q),\,\hat O_2=\hat H$�Ȥ��ƾ�μ���
            �Τ���衣��������$U$��Ǥ�մؿ����ϥߥ�ȥ˥���������
            Ʊ���Ȥ��롣
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vfill
\begin{flushright}
{\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html}
\end{flushright}
\end{document}




