\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{24.2cm}
\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}

\newcommand{\bvec}[1]{{\mbox{\boldmath $#1$}}}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1|}
\newcommand{\nbra}[1]{\langle #1}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\ip}[2]{\langle #1|#2\rangle}

\begin{document}
%\small
\pagestyle{empty}


\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�2�齬\hspace{1cm}  ��ݡ������� No.1\hspace{5mm}01/4/26}\\
\smallskip
(��д��¡�5��9�����5��. ��о���B424.)
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Pauli����
      \[
        \sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} 
                           0 & 1 \\ 
                           1 & 0 
                          \end{array} 
                   \right),\quad
        \sigma_2 = \left( \begin{array}{cc} 
                           0 & -i \\ 
                           i & 0 
                          \end{array} 
                   \right),\quad
        \sigma_3 = \left( \begin{array}{cc} 
                           1 & 0 \\ 
                           0 & -1 
                          \end{array} 
                   \right)
      \]
      �ˤĤ��Ƽ��μ��򼨤���
      \begin{enumerate}
      \item ȿ�򴹴ط�:
            $\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}$
      \item �򴹴ط�: $[\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k$
      \item $(\bvec{\sigma}\cdot{\bvec{A}})(\bvec{\sigma}\cdot{\bvec{B}})
              =\bvec{A}\cdot\bvec{B}+
              i\bvec{\sigma}\cdot(\bvec{A}\times\bvec{B})$
      \item \[
              \exp\left(-\frac{i}{2}\bvec{\sigma}\cdot\bvec{n}\phi\right)
              =\cos\frac{\phi}{2}-
               i\bvec{\sigma}\cdot\bvec{n}\sin\frac{\phi}{2}
            \]
            ��������$\bvec{n}^2=1$��(���Ÿ�����������
            $\bvec{A}=\bvec{B}$�Ȥ��������뼰���Ѥ��衣)
      \end{enumerate}
\item ���ԥ�$1/2$��γ�Ҥ�$J_z=\pm\hbar/2$�ξ��֤�
      ���줾��
      \[
        \left(\begin{array}{c} 
               1\\ 
               0             
              \end{array}
        \right)\,,\quad
        \left(\begin{array}{c} 
               0\\ 
               1             
              \end{array}
        \right)
      \]
      ��ɽ���������Ϥ��줾�쥹�ԥ�$z$������������
      $(0,0,1)$����������֤��������$(0,0,-1)$����������֤�
      �ʤäƤ��롣

      ����2�Ĥξ��֤��������ǥ��ԥ󤬥٥��ȥ�
      $(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$��
      ��������������֤�ɽ����(ñ�̥٥��ȥ�$\bvec{n}$�Τޤ��γ���
      $\alpha$�β�ž��ɽ���黻�Ҥ�
      $\exp(-i\hat\bvec{J}\cdot\bvec{n}\alpha/\hbar)$�Ǥ��ꡢ
      $j=1/2$�ΤȤ�$\hat J_i=\hbar\sigma_i/2$
      ��ɽ����뤳���Ѥ��衣)
\item $2j+1$�Ĥα黻��$\hat O_{j,m}$
      ($m=j,\cdots,-j$)�����򴹴ط�
      \begin{eqnarray*}
        [\hat{J}^3,\hat{O}_{j,m}]&=&\hbar m\hat{O}_{j,m}\cr
        [\hat{J}^+,\hat{O}_{j,m}]&=&
                   \hbar\sqrt{j(j+1)-m(m+1)}\;\hat{O}_{j,m+1}\cr
        [\hat{J}^-,\hat{O}_{j,m}]&=&
                   \hbar\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}\;\hat{O}_{j,m-1}
      \end{eqnarray*}
      ���������Ȥ��������α黻�Ҥϳѱ�ư��$j$����
      �ƥ󥽥�黻�ҤǤ���Ȥ�����
      \begin{enumerate}
       \item �ѱ�ư�̤θ�ͭ���֤�$\ket{j,m}$�ʤɤȽ񤯤Ȥ���
             $m$����§
             \[
               \bra{\varphi;j_2,m_2}\hat O_{j,m}\ket{\psi;j_1,m_1}=0\,,
               \quad m_2\neq m+m_1
             \]
             ��Ƴ����(�ѱ�ư�̰ʳ��ξ��֤Υ�٥��$\varphi,\psi$��
             �ޤȤ��ɽ�路�Ƥ��롣)
        \item �����顼�黻��$\hat S$��$[\hat{\bvec{J}},\hat S]=0$��
              ����������$j=0$�Υƥ󥽥�黻�Ҥ�
              ����Ȥ����롣($\hat\bvec{J}$�ϲ�ž�������ҤǤ��뤳�Ȥ�
              �פ��Ф���) ��������
              $\bra{\varphi;j,m}\hat S\ket{\psi;j,m}$��$m$��
              ��¸���ʤ����Ȥ򼨤���$\hat S$��ϥߥ�ȥ˥����
              �Ȥä���硢����ϲ����̣���뤫��
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\begin{flushright}
\tt
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html
\end{flushright}
\end{document}


