\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\setlength{\topmargin}{-5mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5mm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{24.2cm}
\setlength{\footskip}{0.5cm}
%\setlength{\mathindent}{2.5cm}

\newcommand{\bvec}[1]{{\mbox{\boldmath $#1$}}}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1|}
\newcommand{\nbra}[1]{\langle #1}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\ip}[2]{\langle #1|#2\rangle}

\begin{document}
%\small
\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\large\gt �̻��ϳ�2�齬\hspace{1cm}  ��ݡ������� No.2\hspace{5mm}01/7/12}\\
\smallskip
(��д��¡�9��6�����5��. ��о���B424.)
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item ���Ǹ��Ҥδ�����֤���ư�ؿ��Ϻ�ɸɽ����
      \[
        \langle{\mathbf r}|\psi\rangle=
          \frac{1}{\sqrt{\pi}}a_0^{-3/2}\exp\left(-\frac{r}{a_0}\right)
      \]
      ��Ϳ�����롣���ξ��֤α�ư�̤γ�Ψʬ�ۤ��᤿����
      \begin{enumerate}
      \item ��ư��ɽ������ư�ؿ�$\langle{\mathbf p}|\psi\rangle$��
            ��ɸɽ������ư�ؿ�$\langle{\mathbf r}|\psi\rangle$��
            Fourier�Ѵ��η���ɽ�碌����������
            ���ʲ���$\ip{\mathbf p}{{\mathbf p}'}=
            \delta^3({\mathbf p}-{\mathbf p}')$�Ȥ��롣
      \item ��ư�̤�$d^3p$�˸��Ф���Ψ����衣
            (�ҥ�ȡ�ɬ�פ���ʬ��$\mathbf p$��������$z$���Ȥ���
             �˺�ɸ�Ǽ¹Ԥ���Ȥ褤��)
      \end{enumerate}
\item Wigner-Eckart���������Ѥ��ơ�
      ��������$\bra{\varphi;j_2,m_2}\hat x\ket{\psi;j_1,m_1}$
      ���Ф�������§��Ƴ����$j_1=0$��$j_2=0$�ϵ�����뤫��
      (�ҥ�ȡ�$\hat x$�ϥ٥��ȥ�黻�Ҥ�1��ʬ�Ǥ��롣)
\item $N$�Ĥ�γ�Ҥ���ʤ��Ω�Ϥ�ͤ��롣���֤�����������
      ����ʤ�С����ηϤϲ�ž���¿ʤ��Ф������ѤǤ��롣
      \begin{enumerate}
      \item ��ŵŪ�ˤϡ���γ�Ҥΰ��֤���ӱ�ư�̤ϲ�ž��
            �¿ʤǼ��Τ褦���Ѳ����롣
            \begin{equation}
              \bvec{r}_i\mapsto M\bvec{r}_i+\bvec{a}\;,\;\;
              \bvec{p}_i\mapsto M\bvec{p}_i\;\; (i=1,2,\cdots N)
              \label{ET}
            \end{equation}
            ��������$M$�ϣ��ԣ����ľ�����ǡ�$\bvec{a}$�ϣ���ʬ��
            ��٥��ȥ�Ǥ��롣�̻��ϳؤǤ�����б������Ѵ��Ȥ��ơ�
            ��˥��꡼�黻��$\hat U(M,\bvec{a})$��ͤ���
            ����$|\psi\rangle$��$\hat U(M,\bvec{a})|\psi\rangle$
            �˼̤���ΤȤ��롣���ΤȤ����Ѵ�(\ref{ET})�������ͤ�
            ��̣������Ω�Ĥ���ˤϡ����֤���ӱ�ư�̤α黻��
            $\hat{\bvec{r}}_i$��$\hat{\bvec{p}}_i$��
            �ɤΤ褦���Ѵ�����٤�����
     \item ����Ū��$\hat U(M,\bvec{a})$�������뤿���
            ̵�¾��Ѵ���ͤ��롣���ʤ����
            \begin{eqnarray}
              \bvec{r}_i & \mapsto & M(\bvec{\theta})\bvec{r}_i+
                                     \bvec{\epsilon}
                                     =\bvec{r}_i+\bvec{\theta}\times\bvec{r}_i
                                      +\bvec{\epsilon}+O(\bvec{\theta}^2)\cr
              \bvec{p}_i & \mapsto & M(\bvec{\theta})\bvec{p}_i
                                     =\bvec{p}_i+\bvec{\theta}\times\bvec{p}_i
                                      +O(\bvec{\theta}^2)
            \label{IT}
            \end{eqnarray}
            �Ǥ��롣�б�����$\hat U$�ϡ�
            \[
              \hat U(M(\bvec{\theta}),\bvec{\epsilon})=
              1+\frac{1}{i\hbar}\bvec{\theta}\cdot\hat{\bvec{J}}+
                \frac{1}{i\hbar}\bvec{\epsilon}\cdot\hat{\bvec{P}}+
                O(\bvec{\theta},\bvec{\epsilon}�Σ���)
            \]
            �Ƚ񤱤롣������$\hat{\bvec{J}}$��$\hat{\bvec{P}}$��
            ��ž������¿ʤ������ҤǤ��ꡢ����ߡ��ȤǤ��롣
            ����η�̤��Ѥ��ơ����θ򴹴ط�����衣
            \[
              [\hat r_i^a,\hat P^b],\;[\hat p_i^a,\hat P^b],\;
              [\hat r_i^a,\hat J^b],\;[\hat p_i^a,\hat J^b]
            \]
      \item $\hat{\bvec{P}}=\sum_{i=1}^N \hat{\bvec{p}}_i$��
            $\hat{\bvec{J}}=\sum_{i=1}^N \hat{\bvec{r}}_i
             \times\hat{\bvec{p}}_i$�Ȥ���ȡ����������줿
            �򴹴ط�����������Ƥ��뤳�Ȥ򼨤���
      \item �����������줿 $\hat{\bvec{P}}$��$\hat{\bvec{J}}$ 
            ���Ѥ��ơ�$[\hat J^a,\hat J^b]$��$[\hat J^a,\hat P^b]$��
            $[\hat P^a,\hat P^b]$��׻����衣
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\begin{flushright}
\tt
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/qm2.html
\end{flushright}
\end{document}


