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\begin{document}
\begin{center}
�̻��ϳ�3�齬(����ô�����饹) ���� No.11 (2002/12/12)
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Ⱦ��$R$�ι��ε�ˤ�뻶���ͤ��롣�ݥƥ󥷥���
      $V(r)=\infty\; (r<R),\;V(r)=0\; (r>R)$�Ǥ��롣
      \begin{enumerate}
      \item $r>R$�Ǥ�ư����ư�ؿ��ϡ�
            $R_{kl}(r)=\alpha_l j_l(kr)+\beta_l n_l(kr)$��
            �񤱤롣(No.9 ����2���ȡ�) $\tan\delta_l=-\beta_l/\alpha_l$
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item $r<R$�Ǥ�$R_{kl}(r)=0$�Ǥ��롣���β�Ⱦ��$r>R$�Ǥβ��
            $r=R$����³���뤳�Ȥˤ�ꡢ$\tan\delta_l=j_l(kR)/n_l(kR)$��
            �ʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item $kR\ll 1$(���ʤ���㥨�ͥ륮��)��
            \[
              \tan\delta_l\simeq\delta_l\simeq -
              \left(\frac{2^l l!}{(2l)!}\right)^2\frac{(kR)^{2l+1}}{2l+1}
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item $a\equiv -\lim_{k\rightarrow 0}\delta_0/k$����Ĺ�Ȥ�����
            �������衣
      \item $kR\ll 1$�Ǥ������Ѥ���衣
      \item $kR\gg 1$�ΤȤ���$\delta_{l+1}-\delta_l\simeq -\pi/2$�򼨤���
      \item $kR\gg 1$�ΤȤ���$l\lesssim kR$����ʬ�Ȥ�����˴�Ϳ�����
            �ͤ����롣�ޤ�����η�̤��顢
            $\sin^2\delta_l+\sin^2\delta_{l+1}\simeq 1$�Ǥ��뤫�顢
            ����ʬ�������Ѥˤ�����$\sin^2\delta_l\simeq 1/2$�ȶ���Ǥ��롣
            ������Ѥ��ơ�$kR\gg 1$(���ʤ���⥨�ͥ륮��)�Ǥ������Ѥ�
            ���衣
      \end{enumerate}
\item �ݥƥ󥷥��$V(r)=-V_0\;(r<R,\;V_0>0),\;V(r)=0\;(r>R)$�ˤ��
      ����ˤĤ��ƹͤ��롣
      \begin{enumerate}
      \item $r>R$�Ǥβ�Ͼ�ι��ε�ξ���Ʊ���Ǥ��롣$r<R$�Ǥβ��
            $R_{kl}(r)=C_l j_l(\kappa r)$�Ƚ񤱤롣��������
            $\kappa\equiv\sqrt{k^2+2mV_0/\hbar^2}$�Ǥ��롣�����β��
            $r=R$����³���뤳�Ȥˤ�ꡢ
            \[
              \tan\delta_l=\frac{k j'_l(kR)-\gamma_l j_l(kR)}
                                {k n'_l(kR)-\gamma_l n_l(kR)},\quad
              \gamma_l\equiv\frac{\kappa j'_l(\kappa R)}{j_l(\kappa R)}
             \]
            �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
      \item $kR\ll 1$��
            \begin{equation}
              \tan\delta_l\simeq
              \left(\frac{2^l l!}{(2l)!}\right)^2
              \frac{l-\gamma_l R}{l+1+\gamma_l R}\frac{(kR)^{2l+1}}{2l+1}
             \label{PS}
	    \end{equation}
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item $1+\gamma_0 R\neq 1$�Ȥ��ƻ���Ĺ���ᡢ
            $k\rightarrow 0$��$\sigma=4\pi R^2(1-\tan\kappa_0 R/\kappa_0 R)^2$
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤�����������$\kappa_0=\sqrt{2mV_0}/\hbar$�Ǥ��롣
      \item ��ʬ��������$\sigma_l=(4\pi/k^2)(2l+1)\sin^2\delta_l$�ϡ�
            $\sin^2\delta_l=1$�����ʤ��$\delta_l=(n+1/2)\pi$�ΤȤ���
            ����ˤʤ롣������Ļ���Ȥ�����
            ���ΤȤ���$\tan\delta_l=\infty$�Ǥ��롣�㥨�ͥ륮���˸¤�
            ���Ļ���Τ�������ϡ���(\ref{PS})����$|1+l+\gamma_l R|\ll 1$
            �Ǥ��롣(���ξ��ϥ������ͥ륮����«�����֤��Ǥ��뤿��ξ���
            �б����Ƥ��롣)
            �ʲ���$l=0$�ξ���ͤ���$|1+\gamma_0 R|\ll 1$�Ȥ��롣
            $k\rightarrow 0$��
            $1+\gamma_0 R=\kappa_0 R\cot\kappa_0 R$�Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item �㥨�ͥ륮���������Ѥ�
            \[
              \sigma\simeq\frac{4\pi R^2}{(\kappa_0 R\cot\kappa_0 R)^2+(kR)^2}
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \end{enumerate}
\item ����Τ���$\delta_l$�������ͥ륮��$E_R$��$\pi/2$�ˤʤä��Ȥ��褦��
      $E=E_R$���ն�ǡ�$\cot\delta_l\simeq-(2/\Gamma)(E-E_R)$�ȶ�����ơ�
      ��ʬ�������Ѥ�
      \[
        \sigma_l=\frac{4\pi(2l+1)}{k^2}
                 \frac{(\Gamma/2)^2}{(E-E_R)^2+(\Gamma/2)^2}
      \]
      �Ȥʤ뤳�Ȥ�Ƴ���������Breit-Wigner�θ����Ȥ�����
\end{enumerate}
\vfill
\hfill {\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/enshuu.html}
\end{document}
