\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}

\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amssymb}

\setlength{\hoffset}{-1in}
\setlength{\voffset}{-1in}
\setlength{\oddsidemargin}{2cm}
\setlength{\topmargin}{1cm}
\setlength{\textheight}{26cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}

\pagestyle{empty}

\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1|}
\newcommand{\ip}[2]{\langle #1|#2\rangle}
\newcommand{\me}[3]{\langle #1|#2|#3\rangle}

\newcommand{\bvec}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand{\bvecs}[1]{\mbox{\scriptsize\boldmath$#1$}}
\newcommand{\sbvec}[1]{{\mbox{\scriptsize\boldmath $#1$}}}

\begin{document}
\begin{center}
�̻��ϳ�3�齬(����ô�����饹) ���� No.12 (2003/1/9)
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item ����Ū$\delta$�̥ݥƥ󥷥��ˤ�뻶��ˤĤ��ƹͤ��롣
      �ݥƥ󥷥���$U(r)=(2m/\hbar^2)V(r)=\gamma\delta(r-a),\,\gamma>0$
      �Ǥ��롣ư����ư�ؿ�$\chi(r)=rR_{kl}(r)$��������������No.10����2(b)
      �Ǽ�����Ƥ��롣�ʲ���$l=0$(s��)�ξ���ͤ��롣
      \begin{enumerate}
      \item $r<a$�Ǥβ��$\chi(r)=A\sin kr$��$r>a$�Ǥβ��
            $\chi(r)=\sin(k(r-a)+\eta)$���֤����Ȥ��Ǥ��롣
            (����Τ���ϡ�$\delta_0=-ka+\eta$�Ǥ��롣)
            �����β��$r=a$�Ǥ���³�����ᡢ�����򤯤��Ȥ�
            ��ꡢ
            \[
              \tan\eta=\frac{\tan ka}{1+(\gamma/k)\tan ka}
            \]
            \[
              A^2=\frac{1}{(\cos ka+(\gamma/k)\sin ka)^2+\sin^2 ka}
            \]
            �򼨤���
      \item ���μ��򼨤���
            \[
              \cot\delta_0=\frac{1+(\gamma/2k)\sin 2ka}{-(\gamma/k)\sin^2 ka}
            \]
      \item �ʲ��Ǥ�$\gamma\gg k,1/a$�Ȥ��롣$|\tan ka|\ll 1$�Ǥʤ��Ȥ�
            (���ʤ��$\tan ka$�������˶᤯�ʤ��Ȥ�)��
            $\delta_0\simeq-ka+n\pi$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
      \item $|\tan ka|\ll 1$�ΤȤ������Ĥξ��$\cot\delta_0=0$������
            ���ͥ륮����
            \[
              E_R\simeq\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2
                  \left(1-\frac{2}{\gamma a}\right)
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item ���Ĥ���$\Gamma$��
            \[
              \Gamma\simeq\frac{1}{\gamma^2}\frac{2\hbar^2}{ma}
                          \left(\frac{n\pi}{a}\right)^3
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���(No.11����3�򻲾ȤΤ��ȡ�) 
      \end{enumerate}
\item Coulomb�ݥƥ󥷥��ˤ�뻶��ˤĤ��ƹͤ��롣
      \begin{enumerate}
      \item �ݥƥ󥷥��ϵ��оΤ�������������Ǥ�$z$�������������Ȥ�
            ����Τ�����ϼ��оΤǤ��롣�����ǡ���ʪ��ɸ$(\xi,\eta,\phi)$
            �ǹͤ��롣$x=\sqrt{\xi\eta}\cos\phi,\,y=\sqrt{\xi\eta}\sin\phi,\,
            z=(\xi-\eta)/2,\,\xi,\eta\ge0,\,0\le\phi<2\pi$�Ǥ��롣
            �ޤ���$r=(\xi+\eta)/2$��$\xi=r+z$��$\eta=r-z$��
            $\phi=\tan^{-1}(y/x)$�ʤɤ�����Ω�ġ�����ˡ�
            \[
              \triangle=\frac{4}{\xi+\eta}
                        \left(\frac{\partial}{\partial\xi}\xi
                              \frac{\partial}{\partial\xi}+
                              \frac{\partial}{\partial\eta}\eta
                              \frac{\partial}{\partial\eta}\right)+
                        \frac{1}{\xi\eta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}
            \]
            �Ǥ��롣�ݥƥ󥷥���$V(r)=ZZ'e^2/r$�Ȥ��ơ�
            ($\phi$��¸���Ϥʤ��Ϥ��Ǥ��뤫��)$\psi=f_1(\xi)f_2(\eta)$��
            �֤�Schr\"odinger���������ѿ�ʬΥ���ơ�
            \[
              \left(\frac{\partial}{\partial\xi}\xi
                    \frac{\partial}{\partial\xi}+
                    \frac{k^2}{4}\xi-\beta_1\right)f_1(\xi)=0
            \]
            \[
              \left(\frac{\partial}{\partial\eta}\eta
                    \frac{\partial}{\partial\eta}+
                    \frac{k^2}{4}\eta-\beta_2\right)f_2(\eta)=0
            \]
            \[
              \beta_1+\beta_2=q\equiv\frac{ZZ'e^2 m}{\hbar^2}
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item ����򵭽Ҥ���Τ�$\eta\rightarrow\infty$��
            $\psi\approx e^{ikz}=e^{ik(\xi-\eta)/2}$�Ȥʤ�褦�ʲ�Ǥ��롣
            ���Τ��Ȥ���$\beta_1=ik/2$�Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item ����η�̤��顢$f_2$��������������
            \[
              \left(\frac{\partial}{\partial\eta}\eta
                    \frac{\partial}{\partial\eta}+
                    \frac{k^2}{4}\eta-(q-\frac{i}{2}k)\right)f_2(\eta)=0
            \]
            �Ȥʤ롣
            $f_2(\eta)=e^{-ik\eta/2}w(\eta)$���֤���$w(\eta)$������
            ��������Ƴ����$\eta=0$����§�ʲ򤬹�ή��Ķ�����ؿ���
            $w(\eta)=cF(-iq/k,1,ik\eta)$��ɽ����뤳�Ȥ򼨤���
      \item $|\zeta|\rightarrow\infty$�Ǥ�$F(\alpha,\gamma,\zeta)$���������
            \[
              F(\alpha,\gamma,\zeta)=
               \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)}(-\zeta)^{-\alpha}
                G(\alpha,\alpha-\gamma+1,-\zeta)+
               \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)}e^\zeta 
                \zeta^{\alpha-\gamma}G(\gamma-\alpha,1-\alpha,\zeta)
            \]
            \[
              G(\alpha,\beta,\zeta)=1+\frac{\alpha\beta}{\zeta}+O(1/\zeta^2)
            \]
            ��Ϳ�����롣������Ѥ���
            $\eta=r-z=r(1-\cos\theta)\rightarrow\infty$�Ǥ�
            ��ư�ؿ���(Ŭ���˵��ʲ�����)
            \begin{eqnarray}
              \psi&\approx&
               \left(1+\frac{q^2}{ik^3 r(1-\cos\theta)}\right)
                \exp\left\{ikz+i(q/k)\log kr(1-\cos\theta)\right\}
            \label{CWFIN}\\
                &&+\frac{f(\theta)}{r}\exp\left\{ikr-i(q/k)\log 2kr\right\}
            \label{CWFSC}
            \end{eqnarray}
            \[
              f(\theta)=-\frac{q}{2k^2\sin^2(\theta/2)}
                         \frac{\Gamma(1+i(q/k))}{\Gamma(1-i(q/k))}
                         \exp\left\{-2i(q/k)\log\sin(\theta/2)\right\}
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item $\psi$����1��(��(\ref{CWFIN}))����2��
            (��(\ref{CWFSC}))�ˤĤ��Ƴ�Ψ��ή��$\bvec{j}$��
            ��ᡢ���줾�줬�����ȤȻ����ȤȤ��Ʋ��Ǥ���
            $f(\theta)$�������ȸ��碌�뤳�Ȥ��������衣
      \item ��ʬ�����Ѥ��ᡢ���줬Rutherford�θ����Ȱ��פ��뤳�Ȥ�
            ������
      \item $f(\theta)$��$k$(���뤤��$E$)��ʣ�Ǵؿ��Ȥߤơ�
            $f(\theta)$�ζˤ�Coulomb�ݥƥ󥷥��ˤ��«�����֤�
            ���ͥ륮�����б����Ƥ��뤳�Ȥ򼨤���
      \end{enumerate}

\end{enumerate}
\vfill
\hfill {\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/enshuu.html}
\end{document}
