\documentclass[a4paper,11pt]{jarticle}

\setlength{\hoffset}{-1in}
\setlength{\voffset}{-1in}
\setlength{\oddsidemargin}{2cm}
\setlength{\topmargin}{1cm}
\setlength{\textheight}{26cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}

\pagestyle{empty}

\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1|}
\newcommand{\ip}[2]{\langle #1|#2\rangle}
\newcommand{\me}[3]{\langle #1|#2|#3\rangle}

\newcommand{\bvec}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}


\begin{document}
\begin{center}
�̻��ϳ�3�齬(����ô�����饹) ���� No.6 (2002/11/7)
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item �̻��ϳؤ����ŵ�ϳؤؤΰܹԤ򸫤ơ����ŵ����ˤĤ��ƹͤ��褦��
 \begin{enumerate}
  \item ��ư�ؿ���
        $\psi(\bvec{x},t)=\exp(iS(\bvec{x},t)/\hbar)$���֤���
        (1γ�Ҥ�)Schr\"odinger����������$S(\bvec{x},t)$������
        ��������Ƴ����$\hbar\rightarrow 0$�ζ˸¤�$S$������
        ��������Hamilton-Jacobi���������Ǥ��뤳�Ȥ�Τ���衣
        (���ʤ����$\hbar\rightarrow 0$�ζ˸¤��̻��ϳؤ���
        ��ŵ�ϳؤؤΰܹԤ����äƤ��롣)
  \item  �����֤ˤĤ��ƾ��Ʊ�����Ȥ�Ԥʤ���
         $(\nabla S)^2-i\hbar\Delta S=2m(E-V(\bvec{x}))$�Ȥʤ뤳�Ȥ�
         ������
  \item 1�����������֤ˤĤ��ơ�
        $S(x)=S_0+\frac{\hbar}{i}S_1(x)+\cdots$
        ��Ÿ�����ơ�
        $S_0$��$S_1$��������������Ƴ����
        (���ŵ��������뤤��WKB����ȸƤФ�롣)
  \item ��ǵ�᤿��������򤭡���ŵŪ����ã��ǽ���ΰ衢
        ���ʤ��$E>V(x)$�Ǥ�
        \[
          \psi=\frac{C_1}{\sqrt{p}}
               \exp\left(\frac{i}{\hbar}\int p\,dx\right)+
               \frac{C_2}{\sqrt{p}}
               \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int p\,dx\right)
        \]       
        �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���������$p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$�ǡ�
        $C_1$��$C_2$������Ǥ��롣
        �ޤ�����ŵŪ����ã�Բ�ǽ���ΰ衢$E<V(x)$�Ǥ�
        \[
          \psi=\frac{C_1}{\sqrt{|p|}}
               \exp\left(-\frac{1}{\hbar}\int |p|\,dx\right)+
               \frac{C_2}{\sqrt{p}}
               \exp\left(\frac{1}{\hbar}\int |p|\,dx\right)
        \]       
        �Ƚ񤱤뤳�Ȥ򼨤���
  \item ���ŵ������褤����Ǥ��뤿��ˤϡ�
        $(1/2\pi)|d\lambda/dx|\ll 1$
        �Ǥʤ���Фʤ�ʤ����Ȥ򼨤����ޤ��������
        $m\hbar|F|/|p|^3\ll 1$�Ƚ񤱤뤳�Ȥ򼨤���
        ��������$F=-dV/dx$�Ǥ��롣(���줫�顢��ư�̤�
        �������ΰ衢�Ȥ��˸�ŵŪ�����ǤϽ��ŵ�����
        Ŭ�ѤǤ��ʤ����Ȥ��狼�롣)
        \label{WKBC}
  \end{enumerate}
\item �ݥƥ󥷥�뤬$x>a$��$V(x)=+\infty$�ΤȤ���$x<a$��$E>V(x)$
      �Ȥ���С����ŵ�������ư�ؿ��ϤɤΤ褦�ˤʤ뤫��
\item 1�����α��夬��Υݥƥ󥷥���ͤ�����ŵŪ������$x=a$
      �Ȥ��褦�����ʤ����$E=V(a)$�ǡ�$x>a$�Ǥ�$E<V(x)$��
      $x<a$�Ǥ�$E>V(x)$�Ǥ��롣$x>a$���ΰ�ϸ�ŵŪ����ã�Բ�ǽ��
      ���뤫�顢$x\rightarrow +\infty$����ư�ؿ��ϥ����ˤʤ�
      �Ϥ��Ǥ��롣�������äơ�$x>a$�ǲ������齽ʬ��Υ�줿
      �Ȥ�����
      \[
        \psi=\frac{C}{2\sqrt{|p|}}
             \exp\left(-\frac{1}{\hbar}\int_a^x |p|\,dx'\right)
      \]
      �Ƚ񤱤롣������$x<a$�Ǥ�
      \[
        \psi=\frac{C_1}{\sqrt{p}}
                   \exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_a^x p\,dx'\right)+
                   \frac{C_2}{\sqrt{p}}
                   \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_a^x p\,dx'\right)
      \]
      �Ȥʤ롣�ʲ���$C$��$C_1$��$C_2$�δط�����褦��
 \begin{enumerate}
  \item $x=a$�ǥݥƥ󥷥�뤬$V(x)=E-F_0 (x-a)+\cdots$
        (������$F_0=-dV/dx|_{x=a}<0$)��Ÿ���Ǥ���Ȥ��褦��
        ���ΤȤ�������\ref{WKBC}�ξ�狼��$|x-a|$�ˤɤΤ褦�����¤�
        �ݤ���뤳�Ȥˤʤ뤫���ʲ��Ǥϡ��������¤Ⱦ��$V(x)$��
        Ÿ����ξΩ����$x$���ΰ衢���ʤ�����ŵ�����Ŭ�ѤǤ���
        ���餤��������Υ��Ƥ��뤬���ݥƥ󥷥������������
        ��Ω����褦���ΰ衢������Ȳ��ꤹ�롣
  \item ��ư�ؿ�$\psi(x)$�����Ū��ʣ�ǿ�$x$�δؿ��Ȥߤʤ���
        $x-a$����������ذܤ�ݤ�(��˽��ŵ�����������褦��)
        $x=a$���齽ʬΥ�줿��ϩ���̤�Ф褤��
        $x-a=\rho e^{i\varphi}$($\rho>0$)���֤���
        $\varphi$��$0\rightarrow\pi$�Ȥ��ƾ�Ⱦ�̤�Ⱦ�ߤ��̤뤳�Ȥ�
        ���褦��
        $\varphi$��$0\rightarrow\pi$���Ѳ�����Ȥ���
        \[
          -\frac{1}{\hbar}\int_a^x |p|\,dx'\longrightarrow
          -\frac{i}{\hbar}\int_a^x p\,dx'
        \]
        �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
  \item Ʊ�ͤ�$\varphi$��$0\rightarrow\pi$���Ѳ�����Ȥ���
        $1/\sqrt{|p|}\rightarrow e^{-i\pi/4}/\sqrt{p}$�Ȥʤ�
        ���Ȥ򼨤�����η�̤�礻����³���
        $C_2=(C/2)e^{-i\pi/4}$�򼨤���
  \item ��Ⱦ�̤�Ⱦ�ߤ��̤��ϩ��ͤ��ơ��⤦�ҤȤĤ���³���
        $C_1=(C/2)e^{i\pi/4}$��Ƴ����
  \item �ݥƥ󥷥�뤬��������ξ��ˤĤ��ơ����Ʊ�ͤˤ���
        ��³�����ᡢ���夬��ξ��ȹ礻�ơ�������$x=a$
        �ΤȤ���
        \[
          V(x)>E,\,
          \psi=\frac{C}{2\sqrt{|p|}}
               \exp\left(-\frac{1}{\hbar}
                         \left|\int_a^x p\,dx'\right|\right)
          \longrightarrow
          V(x)<E,\,
          \psi=\frac{C}{\sqrt{p}}
               \cos\left(\frac{1}{\hbar}\left|\int_a^x p\,dx'\right|
                         -\frac{\pi}{4}\right)
        \]
        �Ȥ�����³����������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤���
        \label{CF}
 \end{enumerate}
\item �ݥƥ󥷥��ΰ�ͤ���ν��ŵŪ��γ�Ҥα�ư��ͤ��롣
      ������$x=a,b$ ($a<b$)�Ȥ��롣
      \begin{enumerate}
      \item $x>b$��
            \[
              \psi(x)=\frac{C}{2\sqrt{|p|}}
                      \exp\left(-\frac{1}{\hbar}\int_b^x |p|\,dx'\right)
            \]
            �Ȥ��ơ���³�������Ѥ���$a<x<b$�Ǥ���ư�ؿ�����ꤻ�衣
      \item Ʊ�ͤ�$x<a$��
            \[
              \psi(x)=\frac{C'}{2\sqrt{|p|}}
                      \exp\left(-\frac{1}{\hbar}\int_x^a |p|\,dx'\right)
            \]
            �Ȥ��ơ�$a<x<b$�Ǥ���ư�ؿ�����ꤻ�衣
      \item ��������ư�ؿ������פ��뤳�Ȥ��������ơ�Bohr--Sommerfeld��
            �̻Ҳ���
            \begin{equation}
              \frac{1}{2\pi\hbar}\oint p\,dx=n+\frac{1}{2}
              \label{BS}
	    \end{equation}
            ��Ƴ�����ޤ���$n$����ư�ؿ��Υ������ο��Ǥ��뤳�Ȥ�Τ���衣
      \item $x<a$��$x>b$����ư�ؿ��ϻؿ��ؿ�Ū�˸������뤫�顢��ư�ؿ���
            ���ʲ���$a<x<b$�Ǥ���ʬ�����ͤ���Ф褤�����ʲ����줿
            ��ư�ؿ���
            \[
              \psi(x)=\sqrt{\frac{2\omega}{\pi v}}
                      \cos\left(\frac{1}{\hbar}\int_a^x pdx'-
                                \frac{\pi}{4}\right)
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤�����������$v=p/m$��$\omega=2\pi/T$�ǡ�
            $T$�ϸ�ŵŪ�ʱ�ư�μ�����ɽ����
            ($\cos$����ʬ��®����ư���Ƥ��뤫�顢���ʲ���ʬ��
            $\cos^2$�򤽤�ʿ����$1/2$���֤������Ƥ褤��)
      \end{enumerate}
\item ��(\ref{BS})���Ѥ��ơ����ŵ����Ǥ�Ĵ�¿�ư�ҤΥ��ͥ륮����̤�
      ���衣
\end{enumerate}
\vfill
\hfill {\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/enshuu.html}
\end{document}
