\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}

\usepackage[dvips]{graphicx}

\setlength{\hoffset}{-1in}
\setlength{\voffset}{-1in}
\setlength{\oddsidemargin}{2cm}
\setlength{\topmargin}{1cm}
\setlength{\textheight}{26cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}

\pagestyle{empty}

\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1|}
\newcommand{\ip}[2]{\langle #1|#2\rangle}
\newcommand{\me}[3]{\langle #1|#2|#3\rangle}

\newcommand{\bvec}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}


\begin{document}
\begin{center}
�̻��ϳ�3�齬(����ô�����饹) ���� No.7 (2002/11/14)
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item ���оΥݥƥ󥷥�����γ�Ҥν��ŵ�����ͤ��褦��
      ư����ư�ؿ�$\chi_l(r)=rR_l(r)$�ϡ��ݥƥ󥷥��
      $V_l(r)=V(r)+\hbar^2 l(l+1)/(2m r^2)$��1����Shr\"odinger������
      �������������äơ�$l=0$�ΤȤ���1�����ν��ŵ����ε�����
      ���Τޤ޻Ȥ��롣(����������������$\chi_l(0)=0$��)
      \begin{enumerate}
      \item $l\neq 0$�ΤȤ������ϥݥƥ󥷥��ˤ���٤�$V(r)$��
            �礭���ʤ��Ȥ��ơ������ͥ륮���ȱ��ϥݥƥ󥷥�뤬
            Ʊ�����餤���礭���Ǥ���褦�ʾ�����$r$�ˤĤ��ơ�
            No.6������1e�ν��ŵ���ξ�郎$l\gg 1$�Ȥʤ뤳�Ȥ�
            ������(���ʤ����$l$���������Ⱦ�����$r$�ǽ��ŵ�����
            �Ȥ��ʤ��ʤ롣)
      \item $V(r)=0$�ΤȤ���$r$����ʬ���礭���Ȥ����ǡ�No.6������3e��
            ��ư�ؿ��������Ȥ������$\sim r^{-1}\sin(kr-\pi l/2)$��
            ���פ��뤳�Ȥ򼨤��������������ϥݥƥ󥷥���$l(l+1)$��
            $(l+1/2)^2$���֤������衣($k=p/\hbar=\sqrt{2mE}/\hbar$�Ǥ��롣)
      \end{enumerate}
\item Coulomb�ݥƥ󥷥��$V(r)=\pm Ze^2/r$�ˤĤ��ƹͤ��롣�ʲ��Ǥϡ�
      $l=0$�ξ���ͤ���н�ʬ�Ǥ��롣
      \begin{enumerate}
       \item $|E|\sim |V|$�Ǥ���褦��$r$�Τ��ΰ�ǡ����ŵ�����
             �Ȥ��뤿��ξ�郎��$|E|\ll |E_0|=m(Ze^2)^2/(2\hbar^2)$
             �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����ޤ������ξ�郎$Ze^2/(\hbar v)\gg 1$��
             �񤱤뤳�Ȥ򼨤���\label{CP}
       \item ���Ϥξ���$|E|\ll |V|$�ΤȤ�(���ʤ���������ζ᤯��)��
             ���ŵ����ξ�郎$r\gg a_0=\hbar^2/(mZe^2)$�Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \end{enumerate}
\item �ݥƥ󥷥����ɤ�Ʃ���Ψ����ŵ����ǵ��褦��������
      $x=a,b$ ($a<b$)�Ȥ��ơ�$a<x<b$����ŵŪ�ˤϵ�����ʤ��ΰ衢
      $x<a$��$x>b$����ŵŪ�˵�������ΰ�Ȥ��롣γ�Ҥ�$x$����
      ���������ͤ��Ƥ����ΤȤ��롣      
      \begin{enumerate}
      \item �ޤ������Ȥ��ơ�No.6������3�Ȥϵդ˸�ŵŪ�˵�������ΰ褫��
            ������ʤ��ΰ�ؤ���³��������褦��
            ��������Υݥƥ󥷥���ͤ��ơ�������$x=b$�Ȥ��롣
            $x>b$����ư�ؿ��Ͽʹ���
            \[
              \psi=\frac{C}{\sqrt{p}}
                   \exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_b^x p\,dx'+
                             i\frac{\pi}{4}\right)
            \]
            �Ǥ���Ȥ��褦����$x=b$���Ⱦ�̤˱��󤹤뤳�Ȥˤ�ꡢ
            $x<b$��
            \[
              \psi=\frac{C}{\sqrt{|p|}}
                   \exp\left(\frac{1}{\hbar}\int_x^b |p|\,dx'\right)
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item �ݥƥ󥷥����ɤ�Ʃ�������Ǥϡ���Ǽ�����$\psi$��
            $a<x<b$�Ǥ���ư�ؿ��Ǥ��롣������ư�ؿ���No.6������3����³������
            Ŭ�Ѥ���$x<a$�Ǥ���ư�ؿ���
            \[
              \psi=\frac{C}{\sqrt{p}}
                   \exp\left(\frac{1}{\hbar}\int_a^b|p|\,dx\right)
                   \left[\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_a^x p\,dx'+
                                   i\frac{\pi}{4}\right)+
                         \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_a^x p\,dx'-
                                   i\frac{\pi}{4}\right)
                   \right]
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item Ʃ���Ψ����衣
      \end{enumerate}
\item ���ҳˤ�$\alpha$�����ˤĤ��ƹͤ��롣$\alpha$γ�Ҥϳˤ���
      Coulomb���Ϥ�������Ʊ���˳ˤζ᤯�Ǥϳ��Ϥ����«��
      ����Ƥ��롣�����ǡ��ݥƥ󥷥���$r<r_0$��$V(r)=-V_0\,(<0)$��
      $r>r_0$��$V(r)=2Ze^2/r$�ȥ�ǥ벽���Ƥߤ褦��($r_0$��
      ���ҳˤ��礭�����٤Ǥ��롣)
      \begin{enumerate}
      \item $\alpha$�����γ�Ψ�ϡ����Υݥƥ󥷥���ͤ���
            �ȥ�ͥ���̤ˤ��γ�Ҥ�æ�Ф����Ψ�Ǥ��롣
            $l=0$�Ȥ��ơ����ͥ륮��$E$��$\alpha$γ�ҤˤĤ��ơ�
            ���γ�Ψ(�λؿ��ؿ�����)����ŵ����ǵ��衣
            �Ǹ��$r_0\rightarrow 0$�ζ˸¤�Ȥ뤳�ȡ�
      \item ���ŵ������Ȥ���Ȥ������γ�Ψ�Ͼ��������Ȥ�
            ������(����\ref{CP}�η�̤��Ѥ��衣)
      \end{enumerate}
\item \begin{minipage}[t]{20em}
       �ޤΤ褦��$V(x)=V(-x)$��2�Ű�ͷ��ݥƥ󥷥���ͤ��롣
       ������ɤ�Ʃ�᤹���Ψ��̵�뤹��ȡ�$x>0$�ΰ�ͤ�«�����줿
       ���ͥ륮��$E_0$���ĵ��ʲ����줿���ŵ��$\psi_0(x)$��
       �ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣���β��$x>0$�ΰ�ͤ�ξ¦�θ�ŵŪ��
       ��ã�Ǥ��ʤ��ΰ�Ǥϻؿ��ؿ�Ū�˸��ꤷ��$x<0$���ΰ�Ǥ�
       �ؿ��ؿ�Ū�˾�������
       $\psi_0$���б����뵬�ʲ����줿���Τβ�ϡ��ݥƥ󥷥����о������顢
       $\psi_\pm(x)=(\psi_0(x)\pm\psi_0(-x))/\sqrt{2}$�Ȥʤꡢ
       ���ͥ륮����̤�$E_\pm$��ʬ�����롣
      \end{minipage}\hspace{2em}
      \raisebox{-30ex}{\includegraphics{doublewell.eps}}
      \begin{enumerate}
       \item $\psi_+^{''}\psi_- - \psi_+\psi_-^{''}$��$0<x<\infty$�Ǥ�
             ��ʬ��ͤ��뤳�Ȥˤ�ꡢ
             $E_+ -E_-\simeq(-2\hbar^2/m)\psi_0(0)\psi_0^{'}(0)$��Ƴ����
       \item No.6������4d����ư�ؿ���No.6������3e����³�������Ѥ��ơ�
             $\psi_0(0),\psi_0^{'}(0)$����ꤷ��
             \[
               E_+ -E_-\simeq-\frac{\hbar\omega}{\pi}
                       \exp\left(-\frac{1}{\hbar}\int_{-a}^a|p|dx\right)
             \]
             �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\hfill {\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/enshuu.html}
\end{document}
