\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}

\usepackage[dvips]{graphicx}

\setlength{\hoffset}{-1in}
\setlength{\voffset}{-1in}
\setlength{\oddsidemargin}{2cm}
\setlength{\topmargin}{1cm}
\setlength{\textheight}{26cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}

\pagestyle{empty}

\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1|}
\newcommand{\ip}[2]{\langle #1|#2\rangle}
\newcommand{\me}[3]{\langle #1|#2|#3\rangle}

\newcommand{\bvec}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand{\bvecs}[1]{\mbox{\scriptsize\boldmath$#1$}}

\begin{document}
\begin{center}
�̻��ϳ�3�齬(����ô�����饹) ���� No.8 (2002/11/21)
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item z�������˿ʤ�ʿ���Ȥǵ��Ҥ����γ�Ҥ����оΥݥƥ󥷥��$V(r)$��
      ���ͤ��Ƥ��롣���������ݥƥ󥷥��ϱ����ǽ�ʬ��®��������
      �ʤ��ΤȤ��롣��ʬ�����Ǥ���ư�ؿ���������(ʿ����)��
      ������(������)�νŤ͹�碌
      \begin{equation}
        \varphi (\bvec{r})\approx e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}
        \quad (r\rightarrow\infty)\label{BC}
      \end{equation}
      �ǽ񤱤롣($f(\theta)$�ϻ������ȸƤФ�롣)
      \begin{enumerate}
      \item �����ư�ؿ������֤˰�¸���ʤ� Schr\"odinger ��������
            $r\rightarrow\infty$���������Ƥ��뤳�Ȥ򼨤���
      \item ��Ψ��ή�줬������
            \begin{equation}
              \bvec{j}(\bvec{r})\approx\frac{\hbar k}{m}
               \left[\bvec{e}_z+\bvec{e}_r|f(\theta)|^2\frac{1}{r^2}
                     +(\bvec{e}_z+\bvec{e}_r){\mathrm{Re}}
                     \left\{f(\theta)\frac{e^{ik(r-z)}}{r}\right\}
                     +\cdots\right]\label{FLUX}
            \end{equation}
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���   
      \item ��(\ref{FLUX})����1������ͥե�å���
            $j_{\mathrm{inc}}=\hbar k/m=v$��ɽ�路��
            ��2��ϻ��𤵤줿γ�Ҥ�ư�������ؤ�ή�� 
            $j_{\mathrm{sc},r}=v|f(\theta)|^2/r^2$
            ��ɽ�路�Ƥ��롣
            \[
              \frac{d\sigma}{d\Omega}d\Omega=
              \frac{ñ�̻��֤�d\Omega ��˻��𤵤��γ�ҿ�}
                   {ñ�̻��֤�ñ�����Ѥ����ͤ���γ�ҿ�}
            \]
            ����ʬ������$\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega}$��
            �������ȡ�
            \[
              \frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item ��ʬ�礭�ʵ��̤Ǥμ�(\ref{FLUX})����ʬ�ϡ�
            γ�ҿ�����¸���饼���ΤϤ��Ǥ��롣���Τ��Ȥ��顢
            ��������
            \[\sigma_{\mathrm tot}=\frac{4\pi}{k}{\mathrm Im}f(0)\,,
              \quad ��������\sigma_{\mathrm tot}=
                            \int\frac{d\sigma}{d\Omega}d\Omega
            \]
            �򼨤���
      \end{enumerate}
\item ��(\ref{BC})�ζ������������ư�ؿ���������ʬ�������ˤĤ���
      �ͤ��褦��
      \begin{enumerate}
      \item ���֤˰�¸���ʤ�Schr\"odinger��������
            $(\Delta +k^2)\varphi (\bvec{r})=U(r)\varphi (\bvec{r})$
            �Ƚ񤯡���������$k^2=2mE/\hbar^2$��$U(r)=2mV(r)/\hbar^2$
            �Ǥ��롣$(\Delta+k^2)G(\bvec{r})=\delta(\bvec{r})$
            ��������Green�ؿ�$G(\bvec{r})$���Ѥ���ȡ����
            Schr\"odinger����������ʬ������
            \begin{equation}
              \varphi (\bvec{r})=\varphi_0(\bvec{r})+
              \int d^3r'G(\bvec{r}-\bvec{r}')
                        U(r')\varphi (\bvec{r}')\label{IE}
            \end{equation}
            �˵��夹�뤳�Ȥ򼨤��������ǡ�$\varphi_0(\bvec{r})$��
            $(\Delta+k^2)\varphi_0(\bvec{r})=0$�β�Ǥ��롣
      \item Fourier�Ѵ����Ѥ���
            $(\Delta+k^2)G({\bvec{r}})=\delta({\bvec{r}})$
            ��򤭡�Green�ؿ���
            \[
              G_\pm(\bvec{r})=-\frac{1}{4\pi}\frac{e^{\pm ikr}}{r}
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���
      \item $\varphi_0(\bvec{r})=e^{ikz}$�Ȥ���$G(\bvec{r})$
            �Ȥ��Ƴ������ε����Ȥ��б�����Green�ؿ�
            $G_+(\bvec{r})$����äƤ���С�
            ��(\ref{BC})�ζ��������������Ƥ��뤳�Ȥ򼨤���
            �����$f(\theta)$��ɽ������衣
      \end{enumerate}
\item ���оΤǤʤ��ݥƥ󥷥��ˤ��γ�Ҥλ���ˤĤ��ƹͤ��롣
      ��ʬ�����Ǥ���ư�ؿ����������
      \[
        \psi(\bvec{r})\approx e^{i\bvecs{k}_i\cdot\bvecs{r}}+
                              f(\bvec{k}_f,\bvec{k}_i)\frac{e^{ikr}}{r}
      \]
      �Ƚ񤱤롣��������$\bvec{k}_{i(f)}$������(����)γ�Ҥ��ȿ��٥��ȥ�
      �ǡ�$k=|\bvec{k}_{i(f)}|$��$\bvec{r}=r\bvec{k}_f/k$�Ǥ��롣
      \begin{enumerate}
      \item ���������ˤĤ��Ƥ�$\psi(\bvec{r})$�νŤ͹�碌�⻶�������
            ɽ���������
            \[
              \Psi(\bvec{r})=\int\psi(\bvec{r})F(\bvec{k}_i)d\Omega_i
            \]
            �Ƚ񤳤���($d\Omega_i$����������$\bvec{k}_i/k$��Ω�γ����ǡ�)
            \[
              \Psi(\bvec{r})\approx\frac{2\pi i}{k}
               \left[\frac{e^{-ikr}}{r}F(-\bvec{k}_f)-
                     \frac{e^{ikr}}{r}F(\bvec{k}_f)\right]+
               \frac{e^{ikr}}{r}\int f(\bvec{k}_f,\bvec{k}_i)F(\bvec{k}_i)
                                     d\Omega_i
            \]
            �Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤���(�ҥ�ȡ�$kr\gg 1$�椨��
            $\bvec{k}_i=\pm\bvec{k}_f$�ζ�˵��ʿ������ʬ����ʬ����ۤ��롣
            $\cos\theta=\bvec{k}_i\cdot\bvec{k}_f/k^2$��[-1,1]�Ǥ�
            ��ʬ���Ⱦ�̤��̤�褦���ѷ����Ƥߤ衣)
      \item ����黻��(�������Ȥ⤤��)$\hat S$��
            $\hat S=1+2ik\hat f$��������롣��������
            \[
              \hat f F(\bvec{k})=\frac{1}{4\pi}
               \int f(\bvec{k},\bvec{k}')F(\bvec{k}')d\Omega'
            \]
            �Ǥ��롣����$\hat S$���Ѥ���С�
            \[
              \Psi(\bvec{r})\approx\frac{2\pi i}{k}
               \left[\frac{e^{-ikr}}{r}F(-\bvec{k}_f)-
                     \frac{e^{ikr}}{r}\hat S F(\bvec{k}_f)\right]
            \] 
            �Ƚ񤱤롣��1��ϸ����ؤμ�«�ȡ���2��ϸ��������
            ȯ���Ȥ�ɽ���Ƥ��롣��Ψ����¸���顢�������礭��(���ʲ�)
            ���������ʤ���Фʤ�ʤ������ʤ����$\hat S$��
            ��˥��꡼�黻�Ҥ�$\hat S^\dagger\hat S=1$��������
            ���Τ��Ȥ��顢
            \[
              f(\bvec{k}_f,\bvec{k}_i)-f^*(\bvec{k}_i,\bvec{k}_f)=
              \frac{ik}{2\pi}\int f^*(\bvec{k},\bvec{k}_f)
                                  f(\bvec{k},\bvec{k}_i)d\Omega
            \]
            �򼨤�������������Ƴ����
            ($\hat f^\dagger F(\bvec{k})=
              (1/4\pi)\int f^*(\bvec{k}',\bvec{k})F(\bvec{k}')d\Omega'$
             �Ǥ��롣)
            
      \end{enumerate}
 
\end{enumerate}
\vfill
\hfill {\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/enshuu.html}
\end{document}
