\documentstyle[a4j,12pt]{jarticle}

\oddsidemargin=0cm
\setlength{\textheight}{26cm}
\topmargin=-1cm
\pagestyle{empty}

\newcommand{\bvec}[1]{{\mbox{\boldmath $#1$}}}
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1|}
\newcommand{\nbra}[1]{\langle #1}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\ip}[2]{\langle #1|#2\rangle}

\begin{document}
\begin{center}
�̻��ϳ�3�齬 No.8 (99/12/2)
\end{center}
\begin{enumerate}
\item $2j+1$�Ĥξ��֥٥��ȥ�$\ket{\psi;j,m}$ ($m=j,\cdots,-j$)��
      $\hat{\bvec{J}}$�κ��Ѥ��Ф��ơ�
      \begin{eqnarray}
        \hat J^3\ket{\psi;j,m}&=&\hbar m\ket{\psi;j,m}\nonumber\\
        \hat J^\pm\ket{\psi;j,m}&=&\hbar\sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}\;
                                 \ket{\psi;j,m\pm 1}\nonumber
      \end{eqnarray}
      ���Ѵ�����Ȥ��������ξ��֤ϳѱ�ư��$j$��ɽ����
      �ʤ��Ƥ���Ȥ�����(��������$J^\pm=J^1\pm iJ^2$��$\psi$��
      �ѱ�ư�̰ʳ����̻ҿ���ޤȤ��ɽ�魯��ΤȤ��롣) Ʊ�ͤˡ�
      $2j+1$�黻��$\hat O_{j,m}$ ($m=j,\cdots,-j$)�����򴹴ط�
      \begin{eqnarray*}
        [\hat{J}^3,\hat{O}_{j,m}]&=&\hbar m\hat{O}_{j,m}\cr
        [\hat{J}^\pm,\hat{O}_{j,m}]&=&
                   \hbar\sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}\;\hat{O}_{j,m\pm 1}
      \end{eqnarray*}
      ���������Ȥ��������α黻�Ҥϳѱ�ư��$j$����
      �ƥ󥽥�黻�ҤǤ���Ȥ�����
      \begin{enumerate}
      \item $m$����§
            \[
              \bra{\varphi;j_2,m_2}\hat O_{j,m}\ket{\psi;j_1,m_1}=0\,,
              \quad m_2\neq m+m_1
            \]
            ��Ƴ����
      \item �����顼�黻��$\hat S$��$[\hat{\bvec{J}},\hat S]=0$��
            ����������$j=0$�Υƥ󥽥�黻�Ҥ�
            ����Ȥ����롣($\hat\bvec{J}$�ϲ�ž�������ҤǤ��뤳�Ȥ�
            �פ��Ф�����) ��������
            $\bra{\varphi;j,m}\hat S\ket{\psi;j,m}$��$m$��
            ��¸���ʤ����Ȥ򼨤���$\hat S$��ϥߥ�ȥ˥����
            �Ȥä���硢����ϲ����̣���뤫��
      \item �٥��ȥ�黻��$\hat{\bvec{V}}$��
            $[\hat J^i,\hat V^j]=i\hbar\sum_{k=1}^3\epsilon^{ijk}V^k$
            ����������$\hat{\bvec{V}}$��$j=1$�α黻�ҤǤ��뤳�Ȥ�
            �Τ���衣��������
            $\hat V_{1,0}=V^3,\,\hat V_{1,\pm 1}=
             \mp(\hat V^1\pm i\hat V^2)/\sqrt{2}
             (=\mp\hat V^\pm/\sqrt{2})$�Ȥ��衣
      \item ���μ��򼨤���
            \begin{eqnarray}
              &&\bra{\varphi;1,m}\hat V^3\ket{\psi;1,m}=
                \frac{m}{\sqrt{6}}
                \bra{\varphi;j=1}|V|\ket{\psi;j=1}\nonumber\\
              &&\bra{\varphi;1,m-1}\hat V^-\ket{\psi;1,m}=
                \sqrt{\frac{(2-m)(1+m)}{6}}
                \bra{\varphi;j=1}|V|\ket{\psi;j=1}
            \end{eqnarray}
            ��������
            $\bra{\varphi;j'}|V|\ket{\psi;j}$�ϴ���������Ǥ�
            �������Τ�$m$�˰�¸���ʤ��̤Ǥ��롣
      \end{enumerate}
\item ��η�̤ϰ��̤γѱ�ư��$j$�Υƥ󥽥�黻�Ҥ˳�ĥ���졢
      ��������$\bra{\varphi;j_2,m_2}\hat O_{j,m}\ket{\psi;j_1,m_1}$
      ��$m,m_1,m_2$��¸�������ꤵ��뤳�Ȥˤʤ롣
      �����Wigner-Eckart�������ȸƤ֡�����������ʲ���Ƴ������
      \begin{enumerate}
      \item �ޤ������Ȥ��ơ�Clebsch-Gordan��������������ͤ��롣
            $j_1,m_1$�ξ��֤�$j_2,m_2$�ξ��֤�������ơ�
            $j,m$�ξ��֤���Ȥ��η�����Clebsch-Gordan�����Ǥ��ä���
            �Ĥޤꡢ
            $\ket{j_1,j_2;j,m}=
             \sum_{m_1,m_2}\ket{j_1,j_2;m_1,m_2}
                           \nbra{j_1,j_2;m_1,m_2}\ket{j_1,j_2;j,m}
            $�α��պǸ�ΰ��Ҥ�Clebsch-Gordan�����Ǥ��롣
            ξ�դ�$\hat J^\pm=\hat J_1^\pm +\hat J_2^\pm$����Ѥ�����
            ������$\bra{j_1,j_2;m_1,m_2}$�򤫤��뤳�Ȥˤ�ꡢ
            ������
            \begin{eqnarray}
             &&\!\!\!\!\!\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}
             \nbra{j_1,j_2;m_1,m_2}\ket{j_1,j_2;j,m\pm 1}=\nonumber\\
              &&\sqrt{(j_1\mp m_1+1)(j_1\pm m_1)}
                \nbra{j_1,j_2;m_1\mp 1,m_2}\ket{j_1,j_2;j,m}+\nonumber\\
              &&\sqrt{(j_2\mp m_2+1)(j_2\pm m_2)}
                \nbra{j_1,j_2;m_1,m_2\mp 1}\ket{j_1,j_2;j,m}\nonumber
            \end{eqnarray}
            ��Ƴ����
      \item $\hat O_{j_1,m_1}$($m_1=j_1,\cdots,-j_1$)��
            �ѱ�ư��$j_1$���ĥƥ󥽥�黻�Ҥǡ�
            $\ket{\psi;j_2,m_2}$($m_2=j_2,\cdots,-j_2$)��
            �ѱ�ư��$j_2$��ɽ����ʤ��Ƥ���Ȥ���
            $\hat O_{j_1,m_1}\ket{\psi;j_2,m_2}$��
            $\hat{\bvec{J}}$�κ��Ѥ��Ф��ơ�
            $\ket{j_1,j_2;,m_1,m_2}$�Τ褦���Ѵ�����
            ���Ȥ򼨤���
      \item ���Τ��Ȥ���ƥ󥽥�黻�Ҥι������Ǥδ֤�(a)��
            �����������������Ω�Ĥ��Ȥ����Ԥ���롣
            ������������ºݤ�Ƴ����
      \item (a)��(c)������������Ӥ��뤳�Ȥˤ�ꡢ
            Wigner-Eckart������
            \[
              \bra{\varphi;j_2,m_2}\hat O_{j,m}\ket{\psi;j_1,m_1}
              =\nbra{j,j_1;m,m_1}\ket{j,j_1;j_2,m_2}
               \frac{\bra{\varphi;j_2}|O_j|\ket{\psi;j_1}}{\sqrt{2j_1+1}}
            \]
            �򼨤����������������������
            $\bra{\varphi;j_2}|O_j|\ket{\psi;j_1}$��$m,m_1,m_2$��
            ���ʤ���
      \end{enumerate}
\item Wigner-Eckart���������Ѥ��Ƽ�����������衣
      \begin{enumerate}
      \item No.7������2(c)��ɽ��줿��������
            $\bra{\varphi;j_2,m_2}\hat x\ket{\psi;j_1,m_1}$
            ���Ф�������§��Ƴ����$j_1=0$��$j_2=0$�ϵ�����뤫��
      \item No.7������1(c)��Ϳ����줿��Τ褦�ˡ�
            Ǥ�դΥ٥��ȥ�黻�Ҥ�(�ѱ�ư�̸�ͭ���֤ǤϤ����)
            �������Ǥ�$\hat\bvec{J}$�����㤹�뤳�Ȥ򼨤���
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\hfill {\tt http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/tanaka/enshuu.html}
\end{document}


